Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

33
Интервалом сходимости является интервал
−
3
1
,
3
1
.
Замечание. Данный ряд является геометрической прогрессией со зна-
менателем q=3x. Геометрическая прогрессия, как известно, сходится при
|q|<1, т. е. при |3х|<1 или при
3
1
x
3
1
<<− .
Пример 2. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда
()
∑
∞
=
1
n
n
nx .
Решение
В данном случае коэффициенты степенного ряда: а
n
=n
n
, тогда
а
n+1
=(n+1)
n+1
.
00
e
1
1n
1
n
1
1
1
lim
1n
1
1n
n
lim
)1n()1n(
n
lim
)1n(
n
lim
a
a
limR
n
n
n
n
n
n
n
1n
n
n
1n
n
n
=⋅=
+
⋅
+
=
+
⋅
+
=
=
++
=
+
==
∞→∞→
∞→
+
∞→
+
∞→
Ряд сходится в единственной точке х=0.
Пример 3. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда
∑
∞
=
1
n
n
!n
х
.
Решение
В данном случае а
n
=
!
n
1
, а
n+1=
)!1n(
1
+
, тогда
∞=+=
+
==
∞→∞→
+
∞→
)1n(lim
!n
)!1n(
lim
a
a
limR
nn
1n
n
n
Таким образом, ряд сходится при всех х, т. е. в интервале
)
(
+∞
−∞
.
Пример 4. Найти область сходимости степенного ряда
∑
∞
=
−
−
1n
3
1n2
n
)2х(
.
Решение
Применять формулы (*) и (**) здесь нельзя, так как бесконечное
множество коэффициентов ряда равно нулю (а именно, а
2n
=0, ибо здесь от-
сутствуют члены с четными степенями (х-а)).
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                     1 1
              Интервалом сходимости является интервал  − ,  .
                                                                     3 3
             Замечание. Данный ряд является геометрической прогрессией со зна-
         менателем q=3x. Геометрическая прогрессия, как известно, сходится при
                                                1    1
         |q|<1, т. е. при |3х|<1 или при −

Страницы