Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

35
При х=−4 получим ряд
∑∑
∞
=
∞
=
=
+−
1
n
1
n
n2
n
1
n
)34(
. Этот ряд расходится (гар-
монический ряд).
При х=−2 получим ряд
∑∑
∞
=
∞
=
=
+−
1n1n
n2
n
1
n
)32(
. Этот ряд также расходит-
ся. Следовательно, областью сходимости данного ряда является интервал
(- 4, - 2).
Пример 6. Найти область сходимости степенного ряда
∑
∞
=
+
+
1n
n
n
)15(n
)2х(
.
Решение.
Применяем признак Даламбера.
u
n
=
)15(n
)2х(
n
n
+
+
, u
n+1=
)15)(1n(
)2х(
1n
1n
++
+
+
+
, тогда
5
2x
55
15
n
1
1
1
2xlim
)15)(1n(
)15(n
2xlim
)2x)(15)(1n(
)15(n)2х(
lim
u
u
lim
n
n
n
1n
n
n
n1n
n1n
n
n
1n
n
+
=
+
+
⋅
+
⋅+=
++
+
+=
=
+++
++
=
−
−
∞→
+
∞→
+
+
∞→
+
∞→
Ряд сходится, когда полученный предел меньше единицы, т. е.
5
2x
+
<1 или |x+2|<5.
Так как при |x+2|<5 ряд сходится, а при |x+2|>5 расходится, радиус
сходимости R=5.
Интервалом сходимости является интервал (- 7, 3).
Исследуем поведение ряда на концах промежутка [- 7, 3].
При х=−7 получим ряд
∑∑∑
∞
=
−
∞
=
∞
=
+
−
=
+
−
=
+
+−
1n
n
n
1n
n
n
1n
n
n
)15(n
)1(
)15(n
)5(
)15(n
)27(
.
Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, поэтому он
сходится.
При х=3 получим ряд
∑∑∑
∞
=
−
∞
=
∞
=
+
=
+
=
+
+
1n
n
1n
n
n
1n
n
n
)15(n
1
)15(n
5
)15(n
)23(
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                   ∞   (−4 + 3) 2n    ∞ 1
              При х=−4 получим ряд                 ∑               = ∑ n . Этот ряд расходится (гар-
                                                   n =1    n         n =1
         монический ряд).
                                                    ∞
                                         (−2 + 3) 2 n    ∞ 1
              При х=−2 получим ряд  ∑                 = ∑ . Этот ряд также расходит-
                                    n =1     n          n =1n
         ся. Следовательно, областью сходимости данного ряда является интервал
         (- 4, - 2).
                                                                                                                    ∞   ( х + 2) n
                Пример 6. Найти область сходимости степенного ряда                                              ∑                      .
                                                                                                                n =1n (5
                                                                                                                            n
                                                                                                                                + 1)
                                            Решение.
              Применяем признак Даламбера.
                           u = ( х + 2) , u
                                       n        ( х + 2) n +1                                   , тогда
                                   n                         n+1=
                                                                                  n +1
                                         n (5 + 1)
                                               n
                                                                    (n + 1)(5            + 1)
                    u n +1            ( х + 2) n +1 n (5n + 1)
                lim        = lim                                  =
               n →∞ u n      n → ∞ ( n + 1)(5 n +1 + 1)( x + 2) n

                                   n (5n + 1)                                            1          5− n + 1            x+2
               = lim x + 2                                   = lim x + 2 ⋅                      ⋅                   =
                 n →∞        ( n + 1)(5n +1 + 1)                 n →∞
                                                                                      1+
                                                                                             1 5− n + 5                  5
                                                                                             n
                   Ряд сходится, когда полученный предел меньше единицы, т. е.
                                                      x+2
                                                          <1 или |x+2|<5.
                                                       5
             Так как при |x+2|<5 ряд сходится, а при |x+2|>5 расходится, радиус
         сходимости R=5.
             Интервалом сходимости является интервал (- 7, 3).
             Исследуем поведение ряда на концах промежутка [- 7, 3].
             При х=−7 получим ряд
                               ∞   (−7 + 2) n                ∞      ( −5) n            ∞        (−1) n
                              ∑                         =   ∑                     =   ∑             −n
                                                                                                                .
                              n =1 n (5
                                           n
                                               + 1)         n =1n (5
                                                                       n
                                                                           + 1)       n =1n (5           + 1)
             Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, поэтому он
         сходится.
             При х=3 получим ряд
                               ∞       (3 + 2 ) n           ∞         5n              ∞             1
                               ∑                        =   ∑                     =   ∑             −n
                                                                                                                .
                              n =1n (5
                                           n
                                               + 1)         n =1n (5
                                                                       n
                                                                           + 1)       n =1n (5           + 1)




                                                                 35

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы