Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

37
...x
!
n
)0(f
...x
!
2
)0(f
x
!
1
)0(f
)0(f)x(f
n
)n(
2
+++
′′
+
′
+=
Утверждение. Если функция f(x) в некотором промежутке имеет про-
изводные всех порядков, и все эти производные для всех х из этого проме-
жутка удовлетворяют неравенству: |f
(n)
(x)|≤L,
где L не зависит от n, то во всем промежутке имеет место разложение
функции в ряд Маклорена.
Непосредственное разложение
Для непосредственного разложения данной функции в ряд Тейлора
нужно:
1. написать ряд Тейлора для данной функции, т. е. вычислить значе-
ния этой функции и ее производных при х=а и подставить их в
общее выражение ряда Тейлора для произвольной функции;
2. определить совокупность значений х, при которых полученный
ряд сходится к данной функции, т. е. исследовать сходимость ряда
Тейлора, как обычного степенного ряда.
Пример 1. Разложить в ряд Тейлора функцию
х
1
при а= - 2.
Решение
Вычисляем значения этой функции и ее производных при х= - 2:
f(x)=x
-1
f(-2)= -
2
1
f
′
(x)= -1x
-2
f
′
(-2)=
2
2
!1
−
f
′
′
(x)=
2
1
⋅
x
-3
f
′
′
(x)=
3
2
!2
−
f
′
′
′
(x)=
3
2
1
⋅
⋅
−
x
-4
f
′
′
′
(x)=
4
2
!3
−
……………….. ………………..
f
(n)
(x)=(-1)
n
n!x
-n-1
f
(n)
(x)=
1n
2
!n
+
−
Подставляя эти значения в ряд Тейлора для произвольной функции,
получим:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                            f ′(0)    f ′′(0) 2        f ( n ) (0) n
                         f ( x ) = f (0 ) +        x+        x + ... +            x + ...
                                               1!        2!                 n!
             Утверждение. Если функция f(x) в некотором промежутке имеет про-
         изводные всех порядков, и все эти производные для всех х из этого проме-
         жутка удовлетворяют неравенству: |f(n)(x)|≤L,
             где L не зависит от n, то во всем промежутке имеет место разложение
         функции в ряд Маклорена.

                                  Непосредственное разложение
                 Для непосредственного разложения данной функции в ряд Тейлора
             нужно:
               1. написать ряд Тейлора для данной функции, т. е. вычислить значе-
                  ния этой функции и ее производных при х=а и подставить их в
                  общее выражение ряда Тейлора для произвольной функции;
               2. определить совокупность значений х, при которых полученный
                  ряд сходится к данной функции, т. е. исследовать сходимость ряда
                  Тейлора, как обычного степенного ряда.
                                                                               1
                Пример 1. Разложить в ряд Тейлора функцию                        при а= - 2.
                                                                               х
                                       Решение
         Вычисляем значения этой функции и ее производных при х= - 2:
                                                                        1
                          f(x)=x-1                           f(-2)= -
                                                                        2
                                                                             1!
                          f ′ (x)= -1x-2                     f ′ (-2)= −
                                                                             22
                                                                             2!
                          f ′′ (x)=1⋅ 2 x-3                   f ′′ (x)= −
                                                                          23
                                                                            3!
                           f ′′′ (x)= − 1 ⋅ 2 ⋅ 3 x-4          f ′′′ (x)= − 4
                                                                           2
                          ………………..                           ………………..
                                                                             n!
                          f(n)(x)=(-1)nn!x-n-1               f(n)(x)= −
                                                                            2n +1
             Подставляя эти значения в ряд Тейлора для произвольной функции,
         получим:




                                                        37

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы