Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

42
...
!
n
х)1n(
...
!
3
х4
!
2
х3
!
1
х2
1
...
!n
х
...
!3
х
!2
х
!1
х
1)х1(е)х1(
n32
n32
х
+
+
+++++=
=
+++++++=+
которое справедливо, т. е. сходится к данной функции, при всех зна-
чениях х.
Пример 6. Разложить в ряд по степеням х функцию Sin
2
x.
Решение
1-ый способ. Ряд для Sin
2
x можно получить умножением самого на се-
бя известного ряда Маклорена для Sinx:
...x
)!n2(
2
)1(...x
45
2
x
3
1
x
...
)!1n2(
х
)1(...
!5
х
!3
х
x
...
)!1n2(
х
)1(...
!5
х
!3
х
xSinxSinxxSin
n2
1n2
1n642
1n2
1n
53
1n2
1n
53
2
+−+−+−=
=
+
−
−+−+−×
×
+
−
−+−+−=⋅=
−
−
−
−
−
−
Полученный ряд, как и для Sinx, сходится при всех значениях х.
2-ой способ. Воспользуемся формулой Sin
2
x=
2
1
(1- Cos2x) и рядом для
...
)!n2(
х
)1(...
!4
х
!2
х
1Cosx
n2
n
42
+−+−+−=
.
Заменяем здесь х на 2х:
...
)!n2(
х2
)1(...
!4
х2
!2
х2
1x2Cos
n2n2
n
4422
+−+−+−=
Итак,
Sin
2
x=
2
1
(1- Cos2x)=
...x
)!n2(
2
)1(...x
45
2
x
3
1
x
n2
1n2
1n642
+−+−+−
−
−
Пример 7. Разложить в ряд по степеням х функцию
2
)1х(
3х
+
−
.
Решение
Преобразуем данную функцию в произведение:
2
)1х(
3х
+
−
=(х-3)(х+1)
-2
;
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                      х х 2 х3         хn       
              (1 + х )е х = (1 + х )1 + + +   + ... +    + ... =
                                      1! 2! 3!         n!       
                   2 х 3х 2 4 х 3         (n + 1) х n
             = 1+     +    +      + ... +             + ...
                   1!   2!   3!               n!
             которое справедливо, т. е. сходится к данной функции, при всех зна-
         чениях х.
              Пример 6. Разложить в ряд по степеням х функцию Sin2x.

                                             Решение
                                           2
             1-ый способ. Ряд для Sin x можно получить умножением самого на се-
         бя известного ряда Маклорена для Sinx:
                                                                   2n −1        
                                         х3 х5              n −1 х
              Sin x = Sinx ⋅ Sinx =  x −
                 2
                                            +   − ... + (−1)               + ... ×
                                         3! 5!                  (2n − 1)!       
                                              2 n −1       
                   х3 х 5              n −1 х
              ×x −   +    − ... + (−1)               + ... =
                   3! 5!                   (2n − 1)!       
                                               2 n −1
                   1 4 2 6              n −1 2
              = x − x + x − ... + ( −1)
                  2
                                                      x 2 n + ...
                   3     45                  (2n )!
              Полученный ряд, как и для Sinx, сходится при всех значениях х.
                                                                       1
              2-ой способ. Воспользуемся формулой Sin2x= (1- Cos2x) и рядом для
                                                                       2
                                        х2 х4              n х
                                                               2n
                             Cosx = 1 −   +   − ... + (−1)          + ... .
                                        2! 4!                (2n )!
              Заменяем здесь х на 2х:
                          22 х 2 24 х 4                 2 n 2n
                                                     n 2 х
              Cos2x = 1 −       +       − ... + (−1)            + ...
                            2!    4!                    (2n )!
              Итак,
                    1                                                        2 n −1
                                        1          2 6                n −1 2
              Sin2x= (1- Cos2x)= x 2 − x 4 +          x − ... + ( −1)               x 2n + ...
                    2                   3         45                       (2n )!
                                                                                х −3
               Пример 7. Разложить в ряд по степеням х функцию                          .
                                                                             ( х + 1) 2


                                       Решение
              Преобразуем данную функцию в произведение:
                                               х −3                 -2
                                                         =(х-3)(х+1)   ;
                                            ( х + 1)   2



                                                       42

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы