Функции нескольких переменных. Картечина Н.В - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

3
Функции нескольких переменных
Примеры решения задач
Исследование функций на экстремум
Задача. Исследовать на экстремум функцию
Z = - 4+6x – x
2
– xy – y
2
.
Решение
Чтобы исследовать данную дважды дифференцируемую функцию
z=f(x,y) на экстремум, необходимо:
1. Найти частные производные первого порядка
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
,
приравнять их к нулю и решить систему уравнений:
x
z
∂
∂
=0;
y
z
∂
∂
=0.
Каждая пара действительных корней этой системы определяет одну
стационарную точку исследуемой функции. Пусть P
0
(x
0
;y
0
) одна из этих
точек.
2. Найти частные производные второго порядка
2
22
2
2
,,
y
z
yx
z
x
z
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
и
вычислить их значения в каждой стационарной точке. Положим, что
000
2
22
2
2
,,
PPP
y
z
C
yx
z
x
z
∂
∂
=
∂∂
∂
=Β
∂
∂
=Α
.
3. Составить и вычислить определитель второго порядка:
2
BC
B С
B
−Α=
Α
=∆
.
4. Если в исследуемой стандартной точке P
0
(x
0
;y
0
) ∆>0, функция
z=f(x,y) в этой точке имеет максимум при А<0 и минимум при А>0; если
∆<0, то вопрос об экстремуме требует дополнительного исследования.
Находим стационарные точки данной функции:
yx
y
z
yx
x
z
2,26 −−=
∂
∂
−−=
∂
∂
.
Решение системы
=−−
=−−
;02
,026
yx
yx
даёт x
0
= 4, y
0
= -2.
Cледовательно, данная функция имеет только одну стационарную
точку P
0
(4; -2).
Находим частные производные второго порядка и их значения в
найденной стационарной точке:
2;1;2
2
22
2
2
−=
∂
∂
−=
∂∂
∂
−=
∂
∂
y
z
yx
z
x
z
.
Как видно, производные второго порядка не содержат x, они
постоянны в любой точке и, в частности в точке P
0
(4; -2).
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                          Функции нескольких переменных
                                  Примеры решения задач
                            Исследование функций на экстремум
                         Задача. Исследовать на экстремум функцию
                                    Z = - 4+6x – x2 – xy – y2.
                                            Решение
              Чтобы исследовать данную дважды дифференцируемую функцию
         z=f(x,y) на экстремум, необходимо:
                                                                  ∂z        ∂z
              1. Найти частные производные первого порядка              и      ,
                                                                  ∂x       ∂y
                                                                  ∂z         ∂z
         приравнять их к нулю и решить систему уравнений:               =0;      =0.
                                                                  ∂x         ∂y
         Каждая пара действительных корней этой системы определяет одну
         стационарную точку исследуемой функции. Пусть P0(x0;y0) одна из этих
         точек.
                                                                   ∂2z ∂2z ∂2z
              2. Найти частные производные второго порядка              ,      ,      и
                                                                   ∂ x 2 ∂x ∂ y ∂ y 2
             вычислить их значения в каждой стационарной точке. Положим, что
                              ∂2z           ∂2z            ∂2z 
                         Α =  2  ,Β =                ,C =  2  .
                               ∂ x  P0      ∂ x ∂ y  P0     ∂ y  P0
                   3. Составить и вычислить определитель второго порядка:
                                           Α B
                                    ∆ =          = Α C − B      2
                                                                    .
                                           B С
             4. Если в исследуемой стандартной точке P0(x0;y0) ∆>0, функция
         z=f(x,y) в этой точке имеет максимум при А<0 и минимум при А>0; если
         ∆<0, то вопрос об экстремуме требует дополнительного исследования.
               Находим стационарные точки данной функции:
                                     ∂z              ∂z
                                        = 6 − 2x − y, = −x − 2 y .
                                     ∂x              ∂y
                                 6 − 2x − y = 0,
               Решение системы                   даёт x0 = 4, y0 = -2.
                                 − x − 2 y = 0;
             Cледовательно, данная функция имеет только одну стационарную
         точку P0 (4; -2).
             Находим частные производные второго порядка и их значения в
         найденной стационарной точке:
                                ∂2z         ∂2z       ∂2z
                                     = −2;       = −1; 2 = −2 .
                                ∂x 2       ∂x∂y       ∂y
             Как видно, производные второго порядка не содержат x, они
         постоянны в любой точке и, в частности в точке P0 (4; -2).

                                                                                     3
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы