Функции нескольких переменных. Картечина Н.В - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

5
Или
()
()
∑
∑
=
=
=−+=
∂
∂
=⋅−+=
∂
∂
n
i
ii
n
i
iii
ybax
b
S
xybax
a
S
1
1
02
02
Получим систему уравнений:
=+
⋅=+
∑∑
∑∑∑
==
===
n
i
n
i
ii
n
i
n
i
n
i
iiii
ybnxa
yxxbxa
11
111
2
.
;
(*)
Эту систему можно представить иначе, если ввести средние значения
величин x, y, x
2
, xy.
Пусть
.;;;
1
2
2
111
n
x
x
n
yx
yx
n
y
y
n
y
x
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
∑∑∑∑
====
====
Разделив почленно уравнения системы (*) на n и подставляя значения
x
,
y
,
y
x
,
2
x , получим систему:
=+
=+
.
;
2
ybxa
yxxbxa
(**)
Решая данную систему, получим такие значения параметров a и b, при
которых уравнение y=ax+b наилучшим образом выражает зависимость
между переменными x и y.
Задача. Значения переменных величин x и y, полученные в результате
опыта, представлены в виде таблицы:
х 2 3 6 8 10
у 5,5 8,5 13,6 17,3 20,1
Предполагая, что переменные x и y связаны линейной зависимостью
y=ax+b, найти способом наименьших квадратов параметры a и b.
Решение
Составляем следующую таблицу:
№ x y х
2
xy
1 2 5,5 4 11
2 4 8,5 16 34
3 6 13,6 36 81,6
4 8 17,3 64 138,4
5 10 20,1 100 201
Σ 30 65 220 466
Так как n=5, то
.2,93
5
466
;44
5
220
;13
5
65
;6
5
30
2
======== yxxyx
Подставив эти значения в систему (**), получим:
=+
=+
136
2,93644
ba
ba
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                    ∂S      n
                       = 2∑(axi + b − yi ) ⋅ xi = 0
                    ∂a    i =1
              Или
                    ∂S      n
                       = 2∑(axi + b − yi ) = 0
                    ∂b    i =1

                                          n 2            n           n

                                          ∑ i
                                           a      x  + b∑    x i  = ∑    xi ⋅ yi ;
                                          i=1           i=1         i=1
              Получим систему уравнений:  n                    n
                                                                                                               (*)
                                         a x + bn = y .
                                          ∑i =1
                                                   i         ∑i =1
                                                                    i


             Эту систему можно представить иначе, если ввести средние значения
         величин x, y, x2, xy.
                            n                   n                   n                       n

                           ∑y
                           i =1
                                   i           ∑y
                                               i =1
                                                      i            ∑x y
                                                                   i =1
                                                                          i   i            ∑x
                                                                                           i =1
                                                                                                  i
                                                                                                   2


              Пусть x =                 ;y =              ; xy =
                                                             .                    ; x2 =
                                 n        n    n          n
                Разделив почленно уравнения системы (*) на n и подставляя значения
          x , y , x y , x 2 , получим систему:
                           ax 2 + bx = x y;
                                             (**)
                           ax + b  = y.
             Решая данную систему, получим такие значения параметров a и b, при
         которых уравнение y=ax+b наилучшим образом выражает зависимость
         между переменными x и y.
             Задача. Значения переменных величин x и y, полученные в результате
         опыта, представлены в виде таблицы:
               х                   2                       3                       6                     8             10
               у                  5,5                     8,5                     13,6                  17,3          20,1
             Предполагая, что переменные x и y связаны линейной зависимостью
         y=ax+b, найти способом наименьших квадратов параметры a и b.
                                       Решение
             Составляем следующую таблицу:
               №                         x                          y                              х2                  xy
               1                        2                          5,5                             4                   11
               2                        4                          8,5                             16                  34
               3                        6                          13,6                            36                 81,6
               4                        8                          17,3                            64                138,4
               5                        10                         20,1                           100                 201
               Σ                        30                          65                            220                 466
            Так как n=5, то
                        30           65             220            466
                     x=     = 6; y =    = 13; x 2 =     = 44; xy =     = 93,2.
                         5           5               5              5
         Подставив эти значения в систему (**), получим:
                                         44 a + 6b = 93, 2
                                        
                                        6 a + b = 13

                                                                                                                             5
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы