Функции нескольких переменных. Картечина Н.В - 6 стр.

             Решением этой системы является a=1,9; b=1,6.
             Таким образом, зависимость между переменными x и y выражается
         формулой y=1,9x+1,6.
             Способом наименьших квадратов можно пользоваться и тогда, когда
         точки расположены в достаточной близости от некоторой параболы
         y=ax2+bx+c. В этом случае предполагается, что переменные x и y связаны
         между собой квадратичной функцией.
             Задача сводится к нахождению наименьшего значения функций трёх
         переменных
                                                            (            )
                                                      n

                                  S=f(a,b,c)= ∑ axi + bxi + c − yi .
                                                  2                      2

                                                     i =1
             Пользуясь необходимыми условиями существования экстремума,
         имеем:
                                         ∂S            ∂S          ∂S
                                               = 0,         = 0,          = 0.
                                         ∂a             ∂b         ∂c
             Находим частные производные по переменным a, b, c:
                                  ∂S
                                       = 2∑ (axi2 + bxi + c − yi ) ⋅ xi2
                                              n


                                  ∂a        i =1

                                  ∂S
                                                 (                   )
                                              n
                                        = 2∑ axi2 + bxi + c − yi ⋅ xi
                                  ∂b        i =1

                                   ∂S
                                         = 2∑ (ax i2 + bx i + c − y i )
                                                  n


                                   ∂c           i =1
             Получаем систему уравнений:
                             n 4                n              n                 n

                            a ∑ xi + b∑ xi + c∑ xi = ∑ xi ⋅ yi ;
                                                        3              2               2

                             i =1             i =1           i =1              i =1

                             n 3                n              n               n

                             ∑ i       +     ∑           +   ∑           =   ∑      xi ⋅ y i ;
                                                       2
                             a      x      b         x i    c       x i
                             i =1             i =1           i =1            i =1
                               n                n                         n
                            a ∑ xi + b∑ xi + c ⋅ n = ∑ yi .
                                      2

                             i =1             i =1                      i =1
             Если ввести средние значения величин х, у, х2, х3, х4, ху, х2у, данная
         система примет вид:
                              ax 4 + bx 3 + cx 2 = x 2 y;
                               3
                              ax + bx + cx = x y;
                                         2
                                                           (***)
                               2
                              ax + bx + c = y.
            Задача. Значения переменных величин x и y, полученные в результате
         опыта, представлены в виде таблицы:
               x              0              1                  2            3              4
               у              5              7                  -4           7              5


         6
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com