Функции нескольких переменных. Картечина Н.В - 8 стр.

                                            Решение
                    Рассмотрим функцию Лагранжа
                                         u=x+2y+λ(x2+y2-5).
                           ∂u            ∂u
                    Имеем     = 1 + 2λx,    = 2 + 2λy .
                           ∂x            ∂y
                    Из системы уравнений (необходимые условия экстремума)
                                            1 + 2 λ x = 0
                                            
                                             2 + 2λ y = 0
                                             2
                                            x + y = 5
                                                      2


                                   1
                                λ1 = , x1 = − 1, y1 = − 2;
                                   2
                   Находим            1
                             λ 2 = − , x 2 = 1, y 2 = 2.
                                      2
                   Имеем два решения. Исследуем каждый из них на экстремум
               функции. Вычислим частные производные второго порядка. Для
               того, чтобы установить тип стационарной точки, можно исследовать
               знак дифференциала второго порядка, используя метод выделения
               полного квадрата.

                   Так как
                            ∂ 2u
                           ∂x∂y
                                       ∂ 2u
                                                                (
                                  = 0, 2 = 2λ , то d 2u = 2λ dx2 + dy2 .
                                       ∂y
                                                                             )
                             1
                   При λ =         d 2 u > 0 . Поэтому функция имеет условный
                             2
               минимум в точке (-1;-2) и zmin=-5.
                            1
                    При λ = −    d 2 u < 0 . Поэтому функция имеет условный
                            2
               максимум в точке (1;2) и zmax=5.


                       Наибольшее и наименьшее значения функции
             Если функция от нескольких переменных дифференцируема в
         ограниченной замкнутой области, то она достигает своего наибольшего
         (наименьшего) значения в стационарной точке или на граничной точке
         области.
             Задача. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x3+y3-
         3xy в области 0≤x≤2, -1≤y≤2.
                                         Решение
             Данная область – прямоугольник.
            1. Найдём стационарные точки: P1(0;0) и P1(1;1). Значения функции в
               этих точках: z1=0, z2=-1.
            2. Исследуем функцию на границах области.

         8
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com