Функции нескольких переменных. Картечина Н.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

9
а) При x=0 имеем z=y
3
. Эта функция монотонно возрастает на концах
отрезка
[
]
2,1
−
принимает значения z(y= -1)= -1, z(y= 2)= 8.
б) При х=2 имеем z=8+y
3
– 6y.
Найдём значения этой функции в стационарной точке и на концах отрезка
[
]
2,1
−
. Имеем 0;63
2
=
′
−=
′
zyz при у
2
=2 или, в данной области, при
.4)2(;13)1(;24826228)2(;2 =−==−=−=−+=== yzyzyzy
в) При y=-1 имеем z=x
3
-1+3x; z`=3x
2
+3>0. Функция монотонно возрастает
от z(x=0)=-1 до z(x=2)=13.
г) При y=2 имеем z=x
3
+8-6x; z`=3x
2
-6; z`=0 при x=
2
; z(x=
2
)=8-4
2
;
z(x=0)=8, z(x=2)=6.
3. Сравнивая все найденные значения функции, заключаем z
наиб
=13 в
точке (2,-1); z
наим
=-1 в точках (1,1) и (0,-1).
Производная в данном направлении
Градиент функции
Производная функции z=f(x, y) в данном направлении вектора 1
вычисляется по формуле
αα sincos
y
z
x
z
l
z
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
,
где
α
- угол, образованный вектором 1 с осью Ox.
Градиентом функции z=f(x, y) в точке M(x, y) называется вектор с
началом в точке M, имеющий своими координатами частные производные
функции z:
grad z
j
y
z
i
x
z
∂
∂
+
∂
∂
=
.
Градиент функции и производная в направлении вектора 1 связаны
формулой
=
∂
∂
l
z
пр
1
grad z.
Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в
данной точке. Производная в направлении градиента имеет наибольшее
значение, равное
2
2
∂
∂
+
∂
∂
==
∂
∂
y
z
x
z
zgrad
l
z
наиб
.
Задача. Найти производную функции z=ln(x
2
+y
2
) в точке M(3;4) в
направлении градиента функции z.
Решение
Вектор 1 совпадает с градиентом функции z=ln(x
2
+y
2
) в точке М(3;4) и
равен
grad z=
jM
yx
y
iM
yx
x
⋅
+
+⋅
+
)4;3(
2
)4;3(
2
2222
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
         а) При x=0 имеем z=y3. Эта функция монотонно возрастает на концах
         отрезка [− 1, 2 ] принимает значения z(y= -1)= -1, z(y= 2)= 8.
         б) При х=2 имеем z=8+y3 – 6y.
         Найдём значения этой функции в стационарной точке и на концах отрезка
         [− 1, 2 ] . Имеем z ′ = 3 y 2 − 6; z ′ = 0 при у2=2 или, в данной области, при
          y = 2; z( y = 2) = 8 + 2 2 − 6 2 = 8− 4 2; z( y = −1) =13; z( y = −2) = 4.
         в) При y=-1 имеем z=x3-1+3x; z`=3x2+3>0. Функция монотонно возрастает
         от z(x=0)=-1 до z(x=2)=13.
         г) При y=2 имеем z=x3+8-6x; z`=3x2-6; z`=0 при x= 2 ; z(x= 2 )=8-4 2 ;
         z(x=0)=8, z(x=2)=6.
            3. Сравнивая все найденные значения функции, заключаем zнаиб=13 в
         точке (2,-1); zнаим=-1 в точках (1,1) и (0,-1).

                          Производная в данном направлении
                                 Градиент функции
            Производная функции z=f(x, y) в данном направлении вектора 1
         вычисляется по формуле
                                           ∂z   ∂z         ∂z
                                              =    cos α +    sin α ,
                                           ∂l   ∂x         ∂y
             где α - угол, образованный вектором 1 с осью Ox.
             Градиентом функции z=f(x, y) в точке M(x, y) называется вектор с
         началом в точке M, имеющий своими координатами частные производные
         функции z:
                                                       ∂z     ∂z
                                            grad z =      i +    j .
                                                       ∂x     ∂y
            Градиент функции и производная в направлении вектора 1 связаны
         формулой
                                    ∂ z пр grad z.
                                       =  1
                                                 ∂l
             Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в
         данной точке. Производная в направлении градиента имеет наибольшее
         значение, равное
                                                                                    2
                               ∂z                             ∂z      ∂z 
                                                                      2

                                         = grad       z =         +      .
                               ∂ l  наиб                      ∂x      ∂y 
             Задача. Найти производную функции z=ln(x2+y2) в точке M(3;4) в
         направлении градиента функции z.
                                         Решение
             Вектор 1 совпадает с градиентом функции z=ln(x2+y2) в точке М(3;4) и
         равен
                                     2x                         2y      
                          grad z=             M (3;4) ⋅ i +  2        M (3;4) ⋅ j .
                                   x +y                         x +y
                                       2 2                             2
                                                                           


                                                                                              9
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы