Функции нескольких переменных. Картечина Н.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

7
Методом наименьших квадратов найти y=ax
2
+bx+c.
Решение
Составим таблицу:
x y x
2
x
3
x
4
xy x
2
y
0 5 0 0 0 0 0
1 7 1 1 1 7 7
2 -4 4 8 16 -8 -16
3 7 9 27 81 21 63
4 5 16 64 256 20 80
Σ10 20 30 100 354 40 134
Подставив значения суммы в систему (***) получим
=++
=++
=++
426
82620
8,266208,70
cba
cba
cba
Решением данной системы являются значения a=1, b=-4, c=6. Данная
зависимость выражается формулой у=х
2
-4х+6.
Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в
замкнутой области
Условным экстремумом функции z=f(x, y) называется экстремумом
этой функции, достигнутый при условии, что переменные x и y связаны
уравнением φ(x, y)=0 (уравнением связи).
Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на
обычный экстремум так называемой функции Лагранжа u=f(x, y)+λφ(x, y),
где λ – неопределённый постоянный множитель.
Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеет вид
=
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
0),(
0
0
yx
yy
f
y
u
xx
f
x
u
ϕ
ϕ
λ
ϕ
λ
Из этой системы трёх уравнений можно найти неизвестные x, y, λ.
Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в
замкнутой области, надо:
1. Найти стационарные точки, расположенные в данной области, и
вычислить значения функции в этих точках;
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях,
образующих границу области;
3. Из всех значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Задача. Найти условный экстремум функции z=x+2y при условии,
что х и у связаны уравнением х
2
+у
2
=5.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
             Методом наименьших квадратов найти y=ax2+bx+c.
                                      Решение
             Составим таблицу:
              x          y           x2           x3          x4             xy   x2y
              0          5            0           0           0               0    0
              1          7            1           1           1               7    7
              2          -4           4           8           16             -8   -16
              3          7            9           27          81             21    63
              4          5           16           64         256             20    80
             Σ10         20          30          100         354             40   134
              Подставив значения суммы в систему (***) получим
                                       70,8a + 20b + 6c = 26,8
                                       
                                       20a + 6b + 2c = 8
                                       6a + 2b + c = 4
                                       
             Решением данной системы являются значения a=1, b=-4, c=6. Данная
         зависимость выражается формулой у=х2-4х+6.

          Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в
                                    замкнутой области
             Условным экстремумом функции z=f(x, y) называется экстремумом
         этой функции, достигнутый при условии, что переменные x и y связаны
         уравнением φ(x, y)=0 (уравнением связи).
             Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на
         обычный экстремум так называемой функции Лагранжа u=f(x, y)+λφ(x, y),
         где λ – неопределённый постоянный множитель.
             Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеет вид
                                     ∂u      ∂f       ∂ϕ
                                     ∂x   =      +  λ     =0
                                              ∂x       ∂x
                                    
                                     ∂u      ∂f       ∂ϕ
                                          =      +λ       =0
                                     ∂ y     ∂ y      ∂ y
                                    ϕ ( x , y ) = 0
                                    
                                    
             Из этой системы трёх уравнений можно найти неизвестные x, y, λ.
             Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в
         замкнутой области, надо:
               1. Найти стационарные точки, расположенные в данной области, и
                  вычислить значения функции в этих точках;
               2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях,
                  образующих границу области;
               3. Из всех значений выбрать наибольшее и наименьшее.
                Задача. Найти условный экстремум функции z=x+2y при условии,
           что х и у связаны уравнением х2+у2=5.


                                                                                        7
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы