Функции нескольких переменных. Картечина Н.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

10
Следовательно,
5
2
25
8
25
6
22
=
+
==
∂
∂
zgrad
l
z
.
В задачах 1-20 проверить справедливость данного тождества, если
известна функция z=f(x,y).
1.
()
5
22
yx
y
z
−
=
;
0
11
2
=−
∂
∂
+
∂
∂
y
z
y
z
yx
z
x
.
2.
)arcsin(
3
2
xy
x
y
z +=
;
0
22
=+
∂
∂
−
∂
∂
y
y
z
xy
x
z
x
.
3.
)12ln(
22
+++= xyxz
;
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
z
x
z
.
4.
xy
ez =
;
022
2
2
2
2
2
2
=+
∂∂
∂
+
∂∂
∂
−
∂
∂
xyz
yx
z
y
yx
z
xy
x
z
x
.
5.
)ln(
y
exz
−
+=
;
0
2
22
=
∂
∂
∂
∂
−
∂∂
∂
∂
∂
x
z
y
z
yx
z
x
z
.
6.
y
x
z =
;
0
2
=
∂
∂
−
∂∂
∂
y
z
yx
z
x
.
7.
y
xz =
;
0)ln1(
2
=
∂
∂
+−
∂∂
∂
x
z
xy
yx
z
y
.
8.
x
y
xez =
;
02
2
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
y
z
y
yx
z
xy
x
z
x
.
9.
)sin( ayxz
+
=
;
0
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
−
y
z
x
z
a
.
10.
yxyyz sin)(cos
−
+
=
;
0)(
2
=
∂∂
∂
−+
∂
∂
−
yx
z
yx
y
z
.
11.
y
x
gz arctan=
;
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
z
x
z
.
12.
xy
ez =
;
0
2
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
y
z
y
x
z
x
.
13.
x
yx
z
)sin(
−
=
;
0
2
2
22
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
y
z
x
x
z
x
x
.
14.
)3sin(
3
yxez
yx
+=
−−
;
09
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
y
z
x
z
.
15.
x
y
ez =
;
0
2
2
22
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
y
z
y
x
z
x
x
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
               Следовательно,
                                           ∂z
                                                                     2     2
                                                               6   8    2
                                              = grad      z =   +  = .
                                           ∂l                  25   25  5
             В задачах 1-20 проверить справедливость данного тождества, если
         известна функция z=f(x,y).
                       y         1 ∂z 1 ∂z   z
            1. z = 2                 +     − 2 = 0.
                   (x − y 2 ) x ∂x y ∂y y
                             5 ;

                     y2                     ∂z   ∂z
              2. z =    + arcsin( xy ) ; x 2 − xy + y 2 = 0 .
                     3x                     ∂x   ∂y
                                           ∂2z ∂2z
              3. z = ln( x + y + 2 x + 1) ; 2 + 2 = 0 .
                               2           2
                                           ∂x  ∂y
                                ∂2 z        ∂2 z    2 ∂ z
                                                        2

              4. z = e ; x
                         xy        2
                                     − 2xy       +y         + 2xyz = 0 .
                                ∂x 2       ∂x∂y       ∂x∂y
                                     ∂z ∂ 2 z ∂z ∂ 2 z
                               −y
              5. z = ln( x + e ) ;             −          = 0.
                                     ∂x ∂x∂y ∂y ∂x 2
                       x        ∂2z     ∂z
              6. z =       ; x       −     = 0.
                       y       ∂x ∂y ∂ y
                               ∂2z                ∂z
              7. z = x y ; y        − (1 + y ln x) = 0 .
                               ∂x∂y               ∂x
                          y
                            ∂2 z       ∂2 z    2 ∂ z
                                                  2

              8. z = xe ; x
                          x      + 2xy
                                   2
                                            +y        = 0.
                            ∂x 2       ∂x∂y      ∂y 2
                                                ∂2z ∂2z
              9. z = sin( x + ay) ; − a             +     = 0.
                                        2

                                                ∂x 2 ∂y 2
                                                ∂z           ∂2z
              10. z = cos y + ( y − x) sin y ; − + ( x − y )       =0.
                                                ∂y           ∂x ∂y
                              x ∂2 z ∂2 z
              11. z = arctang  ;    +     =0.
                              y ∂x 2 ∂y 2
                                   ∂2z     ∂2z
              12. z = e
                          xy
                               ; x
                                       2
                                        − y 2 = 0.
                                   ∂x 2    ∂y
                        sin( x − y ) ∂  2 ∂ z     2 ∂ z
                                                       2

              13. z =               ;    x    − x        = 0.
                             x        ∂x   ∂x       ∂y 2
                        − x−3 y                        ∂2z ∂2z
              14. z = e         sin(x + 3y) ; 9             −      = 0.
                                                       ∂x 2   ∂y 2
                          y
                               ∂  2 ∂z      2 ∂ z
                                                 2

              15. z = e ; x
                                   x    − y        =0.
                               ∂x  ∂x         ∂y 2


         10
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы