ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
21
−=
=
⇒
=+
=
9
4
а
3
1
а
0а3а4
0а3
1
0
10
0
у
чн
=1/3х-4/9.
Значит, у
он
=С
1
е
-х
+С
2
е
-3х
+1/3х-4/9.
Выделим теперь из общего решения частное решение,
удовлетворяющее начальным условиям у(0)=5/9, у'(0)=1/3. Заменяя в
общем решении х, у, у', начальными данными, получим
у
он
=С
1
е
-х
+С
2
е
-3х
+1/3х-4/9
⇒
5/9=С
1
+С
2
-4/9;
у'
ои
=(С
1
е
-х
+С
2
е
-3х
+1/3х-4/9)';
у
он
=-С
1
е
-х
-3С
2
е
-3х
+1/3
⇒
1/3=-С
1
-3С
2
+1/3.
−=
=
⇒
=+−−
=−+
2
1
С
2
3
С
3
1
3
1
С3С
9
5
9
4
СС
2
1
21
21
Итак, искомое частное решение имеет вид
у=3/2е
-х
-1/2е
-3х
+1/3х-4/9.
Пример 2. y''+2y'+5y=2cosx.
Решение
y''+2y'+5y=2e
0х
·cos(1·x)+0e
0х
·sin(1·x).
f(x)= 2e
0х
·cos(1·x)+0e
0х
·sin(1·x) - вид 3 (см.таблицу). Здесь α=0, β=1;
Р
0
(х)=2, Q
0
(х)=0; 1=0.
Характеристическое уравнение к
2
+2к+5=0 имеет корни к
1
= -1+2i, к
2
=
-1-2i.
у
оо
= еά
х
(С
1
cosβx+C
2
sinβx)=е
-х
(С
1
cos2x+C2sin2x)
α+βi - не корень характеристического уравнения, поэтому
у
чн
=U
1
(x)e
αx
cosβx+V
1
(x)e
αx
sinβx=а
0
cosx+а
1
sinx.
Найдем а
0
и а
1
. Для этого вычислим
у'
чн
=-a
0
sinx+a
1
cosx;
y''=-a
0
cosx-a
1
sinx.
Подставим у
чн
, у'
чн
, у''
чн
в данное уравнение.
Получим
-а
0
cosx-a
1
sinx+2(a
0
sinx+a
1
cosx)+5(а
0
cosx+a
1
sinx)=2cosx
Приравнивая коэффициенты при cosx и sinx, получаем систему
уравнений.
=
=
⇒
=+
=−
10
1
а
5
1
а
2а2а4
0а2а4
1
0
10
01
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1
а0 =
3а 0 = 0 3
⇒
4а 0 + 3а 1 = 0 а = − 4
1 9
учн=1/3х-4/9.
-х -3х
Значит, уон=С1е +С2е +1/3х-4/9.
Выделим теперь из общего решения частное решение,
удовлетворяющее начальным условиям у(0)=5/9, у'(0)=1/3. Заменяя в
общем решении х, у, у', начальными данными, получим
уон=С1е-х+С2е-3х+1/3х-4/9 ⇒ 5/9=С1+С2-4/9;
у'ои=(С1е-х+С2е-3х+1/3х-4/9)';
уон=-С1е-х-3С2е-3х+1/3 ⇒ 1/3=-С1-3С2+1/3.
4 5 3
С 1 + С 2 − = С1 =
9 9 2
⇒
− С1 − 3С2 + 1 = 1 С2 = − 1
3 3 2
Итак, искомое частное решение имеет вид
у=3/2е-х-1/2е-3х+1/3х-4/9.
Пример 2. y''+2y'+5y=2cosx.
Решение
0х 0х
y''+2y'+5y=2e ·cos(1·x)+0e ·sin(1·x).
f(x)= 2e0х·cos(1·x)+0e0х·sin(1·x) - вид 3 (см.таблицу). Здесь α=0, β=1;
Р0(х)=2, Q0(х)=0; 1=0.
Характеристическое уравнение к2+2к+5=0 имеет корни к1= -1+2i, к2=
-1-2i.
уоо= еάх(С1cosβx+C2sinβx)=е-х(С1cos2x+C2sin2x)
α+βi - не корень характеристического уравнения, поэтому
αx αx
учн=U1(x)e cosβx+V1(x)e sinβx=а0cosx+а1sinx.
Найдем а0 и а1. Для этого вычислим
у'чн=-a0sinx+a1cosx;
y''=-a0cosx-a1sinx.
Подставим учн, у'чн, у''чн в данное уравнение.
Получим
-а0cosx-a1sinx+2(a0sinx+a1cosx)+5(а0cosx+a1sinx)=2cosx
Приравнивая коэффициенты при cosx и sinx, получаем систему
уравнений.
1
а0 =
1
4 а − 2 а 0 = 0 5
⇒
4а 0 + 2а1 = 2 а = 1
1 10
21
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
