Методические указания по дисциплине "Математика" для студентов заочного и дистанционного обучения экономических и инженерных специальностей. Картечина Н.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

19
Т.к. у
оо
=у
1
С
1
+у
2
С
2
(см. таблицу), то полагая, что С
1
и С
2
являются
функциями от х, т.е. С
1
=С
1
(х) и С
2
=С
2
(х), то у
ои
=у
1
С
1
(х)+у
2
С
2
(х).
Функции С
1
(х) и С
2
(х) определяются из системы уравнений:
=
′′
+
′′
=
′
+
′
)x(fу)х(Су)х(С
0у)х(Су)х(С
2211
2211
(2)
Пример. y''-4y'+5y=
x
e
x
cos
2
Решение
Решаем однородное уравнение y''-4y'+5y=0. Ему соответствует
характеристическое уравнение
к
2
- 4к+5=0,
корни которого к
1
=2+i, к
2
=2-i. Отсюда у
1
=е
2х
cosx; у
2
=е
2х
sinx.
Получаем у
оо
=е
2х
(С
1
cosx+С
2
sinx).
Для нахождения у
чи
составляем систему вида (2):
=+
′
+−
′
=
′
+
′
x
cos
e
)xcosxsin2(e)x(C)xsinxcos2)(x(C
0xsine)x(Cxcosе)х(С
x2
x2
21
x2
2
х2
1
Упростим
=+
′
+−
′
=
′
+
′
x
1
)xcosxsin2(e)x(C)xsinxcos2(e)x(C
0xsinCxcos)x(C
x2
2
x2
1
21
Решением данной системы являются
С'
1
= - tgx; C'
2
=1.
С
1
= - ∫ tgxdx=ln|cosx|; С
2
=∫ dx=x
(при вычислении неопределенных интегралов считаем значение
константы равной нулю).
Отсюда
у
чн
=е
2х
(cosxln|cosx|+xsinx).
Следовательно, у
он
=у
оо
+у
чн
у
ои
=е
2х
(С
1
cosx+C
2
sinx)+е
2х
(cosxln|cosx|+xsinx).
Для некоторых специальных видов f(х) у
чн
можно найти методом
неопределенных коэффициентов. По виду парой части f(х) можно заранее
указать вид у
чн
, где неизвестны лишь числовые коэффициенты, и затем
найти его в следующих простейших случаях.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
              Т.к. уоо=у1С1+у2С2 (см. таблицу), то полагая, что С1 и С2 являются
         функциями от х, т.е. С1=С1(х) и С2=С2(х), то уои=у1С1(х)+у2С2(х).
         Функции С1(х) и С2(х) определяются из системы уравнений:
                                       С ′(х)у + С ′(х)у = 0
                                           1     1     2     2
                                         ′                                     (2)
                                        С1 (х)у1′ + С2′(х)у2′ = f (x)
                                     e2 x
                Пример. y''-4y'+5y=
                                    cos x

                                         Решение
              Решаем однородное уравнение y''-4y'+5y=0. Ему соответствует
         характеристическое уравнение
                                           к2 - 4к+5=0,
              корни которого к1=2+i, к2=2-i. Отсюда у1=е2хcosx; у2=е2хsinx.
              Получаем уоо=е2х(С1cosx+С2sinx).
                        Для нахождения учи составляем систему вида (2):

                С ′ ( х )е 2 х cos x + C ′ ( x )e 2 x sin x = 0
                 1                      2
                 ′                                                                  e2x
                C1 ( x )( 2 cos x − sin x ) + C 2′ ( x )e 2 x (2 sin x + cos x ) =
                                                                                   cos x
                Упростим
               C ′ (x) cosx + C ′ sin x = 0
                1              2
                ′                              ′                      1
               C1 (x)e (2 cosx − sin x) + C2 (x)e (2 sin x + cosx) =
                         2x                          2x
                                                                     cosx
               Решением данной системы являются
                                              С'1= - tgx; C'2=1.
               С1= - ∫ tgxdx=ln|cosx|; С2=∫ dx=x
               (при вычислении неопределенных интегралов считаем значение
         константы равной нулю).
               Отсюда
                                         учн=е2х(cosxln|cosx|+xsinx).
               Следовательно, уон=уоо+учн
               уои=е2х(С1cosx+C2sinx)+е2х(cosxln|cosx|+xsinx).
               Для некоторых специальных видов f(х) учн можно найти методом
         неопределенных коэффициентов. По виду парой части f(х) можно заранее
         указать вид учн, где неизвестны лишь числовые коэффициенты, и затем
         найти его в следующих простейших случаях.




                                                                                            19
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы