Методические указания по дисциплине "Математика" для студентов заочного и дистанционного обучения экономических и инженерных специальностей. Картечина Н.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

17
При решении полученного характеристического уравнения
возможны три случая, в зависимости от которых строится общее решение
данного ДУ.
а
0
y''+а
1
у'+а
2
у=0 (1)
Характеристическое уравнение
а
0
k²+a
1
k+а
2
=0
Корни характеристического уравнения
k
1
≠ k
2
k
1
=k
2
=k k
1
=ά+βi,
k
2
=ά-βi
Частные
решения
уравнения
(1)
у
1
=е
хк
1
у
2
=е
хк
2
у
1
=е
кх
у
2
=хе
кх
у
1
=еά
х
cosβx
у
2
=еά
х
sinβx
Общее
решение
уравнения
(1)
у=у
1
С
1
+у
2
С
2
С
1
е
хк
1
+С
2
е
хк
2
е
кх
(С
1
+С
2
х) еά
х
(С
1
cosβx+C
2
sinβx)
Пример. Найти общее решение ДУ.
а)y''+y'-2y=0; б)y''-4y'+4y=0; в)y''+2y'5y=0.
Решение
а)Характеристическое уравнение имеет вид
к
2
+к-2=0.
Его корни к
1
=1, к
2
=-2. Общее решение имеет вид
у=С
1
е
х
+С
2
е
-2х
.
б)Характеристическое уравнение имеет вид
к
2
-4к+4=0.
Его корни к
1
=к
2
=2. Общее решение имеет вид
у=е
2х
(С
1
+С
2
х).
в)Характеристическое уравнение имеет вид
к
2
+2к+5=0
Его корни к
1
=-1+2i, к
2
=-1-2i. Общее решение имеет вид
у=е
-х
(С
1
cos2x+С
2
sin2x).
Найти общее решение ДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами:
1.y''-2y'-8y=0 Отв: у=С
1
е
4х
+С
2
е
-2х
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
              При решении полученного характеристического уравнения
         возможны три случая, в зависимости от которых строится общее решение
         данного ДУ.

                                         а0y''+а1у'+а2у=0   (1)

                                  Характеристическое уравнение
                                          а0k²+a1k+а2=0
                                     Корни характеристического уравнения

                              k1≠ k2             k1=k2=k                  k1=ά+βi,
                                                                          k2=ά-βi
          Частные            у1=е к1х              у1=екх               у1=еάхcosβx
          решения            у2=е к2 х            у2=хекх               у2=еάхsinβx
         уравнения
            (1)
           Общее                                    у=у1С1+у2С2
          решение
         уравнения
            (1)
                         С1е к1х +С2 е к2 х    екх(С1+С2х)         еάх(С1cosβx+C2sinβx)


                Пример. Найти общее решение ДУ.
                а)y''+y'-2y=0; б)y''-4y'+4y=0; в)y''+2y'5y=0.

                                          Решение
              а)Характеристическое уравнение имеет вид
                                         к2+к-2=0.
              Его корни к1=1, к2=-2. Общее решение имеет вид
                                       у=С1ех+С2е-2х.
              б)Характеристическое уравнение имеет вид
                                         к2-4к+4=0.
              Его корни к1=к2=2. Общее решение имеет вид
                                       у=е2х(С1+С2х).
              в)Характеристическое уравнение имеет вид
                                         к2+2к+5=0
              Его корни к1=-1+2i, к2=-1-2i. Общее решение имеет вид
                                  у=е-х(С1cos2x+С2sin2x).
              Найти общее решение ДУ второго порядка с постоянными
         коэффициентами:
              1.y''-2y'-8y=0            Отв: у=С1е4х+С2е-2х.


                                                                                      17
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы