Методические указания по дисциплине "Математика" для студентов заочного и дистанционного обучения экономических и инженерных специальностей. Картечина Н.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

20
Пример 1. y''+4y'+3y=x, если у(0)=5/9, y'(0)=1/3.
Решение
y''+4y'+3y=xе
0х
.
f(x)=xе
0х
– вид 1 (см. таблицу); α=0, P
1
(x)=x.
Характеристическое уравнение к
2
+4к+3=0 имеет корни к
1
=-1,
к
2
=-3.
у
оо
=С
1
е
-х
+С
2
е
-3х
.
α – не является корнем характеристического уравнения, поэтому
у
чн
=(а
0
х+а
1
)е
0х
, где (а
0
х+а
1
)- общий вид многочлена первой степени с
неизвестными коэффициентами а
0
и а
1
.
Вычислим их.
Для этого вычислим y'
чн
=а
0
; у''
чн
=0.
Подставим у
чн
, у'
чн
, у''
чн
в данное уравнение.
Получим
0+4а
0
+3(а
0
х+а
1
)=х.
3а
0
х+(4а
0
+3а
1
)=1х+0
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х, т.е.
получаем систему уравнений
1 f(x)=P
n
(x)e
άx
, где P
n
(x)-многочлен n-ой степени.
а α≠ к
1
, α≠ к
2
у
чи
=Q
n
(х)е
άx
,
где Q
n
(x)-многочлен n-ой степени
б α=к
1
=к
2
у
чи
=х
2
Q
n
(х)е
άx
в α=к
1
, α≠ к
2
у
чи
=х Q
n
(х)е
άx
2 f(x)=Mcosγx+Nsinγx
а γi-не корень
характеристического
уравнения
у
чи
=С
0
cosγx+C
1
sinγx
б γi -корень
характеристического
уравнения
у
чи
=х(С
0
cosγx+C
1
sinγx)
3 f(x)=P
n
(x)е
αx
cosβx+Q
m
(х)е
αx
sinβx
а α+βi-не корень
характеристического
уравнения
у
чи
=U
1
(x)e
αx
cosβx+V
1
(x)e
αx
sinβx, где U
1
(х),
V
1
(x)-многочлены 1-ой степени,
1=max(n,m).
б α+βi корень
характеристического
уравнения
у
чи
=х(U
1
(x)e
αx
cosβx+V
1
(x)e
αx
sinβx).
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
              1                f(x)=Pn(x)eάx, где Pn(x)-многочлен n-ой степени.
              а           α≠ к1, α≠ к2                        учи=Qn(х)еάx,
                                                   где Qn(x)-многочлен n-ой степени
              б             α=к1=к2                           учи=х2 Qn(х)еάx
              в            α=к1, α≠ к2                        учи=х Qn(х)еάx
              2                              f(x)=Mcosγx+Nsinγx
              а           γi-не корень                    учи=С0cosγx+C1sinγx
                      характеристического
                           уравнения

              б            γi -корень                  учи=х(С0cosγx+C1sinγx)
                      характеристического
                           уравнения
              3                       f(x)=Pn(x)еαxcosβx+Qm(х)еαxsinβx
              а          α+βi-не корень       учи=U1(x)eαxcosβx+V1(x)eαxsinβx, где U1(х),
                      характеристического          V1(x)-многочлены 1-ой степени,
                           уравнения                         1=max(n,m).

              б           α+βi корень             учи=х(U1(x)eαxcosβx+V1(x)eαxsinβx).
                      характеристического
                           уравнения

                  Пример 1. y''+4y'+3y=x, если у(0)=5/9, y'(0)=1/3.

                                                Решение
                                            y''+4y'+3y=xе0х.
                  f(x)=xе0х – вид 1 (см. таблицу); α=0, P1(x)=x.
                  Характеристическое уравнение к2+4к+3=0               имеет корни к1=-1,
         к2=-3.
                                        уоо=С1е-х+С2е-3х.
               α – не является корнем характеристического уравнения, поэтому
         учн=(а0х+а1)е0х, где (а0х+а1)- общий вид многочлена первой степени с
         неизвестными коэффициентами а0 и а1.
               Вычислим их.
               Для этого вычислим y'чн=а0; у''чн=0.
               Подставим учн, у'чн, у''чн в данное уравнение.
               Получим
                                      0+4а0+3(а0х+а1)=х.
                                     3а0х+(4а0+3а1)=1х+0
               Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х, т.е.
         получаем систему уравнений


         20
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы