Методические указания по дисциплине "Математика" для студентов заочного и дистанционного обучения экономических и инженерных специальностей. Картечина Н.В - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

3
Введение
Дифференциальным уравнением (ДУ), называется равенство,
связывающее функцию, ее производные или дифференциалы и аргумент.
F(x,y,y
/
,y
//
,…y
(n)
) = 0
Если неизвестная функция зависит только от одного аргумента, то
ДУ называется обыкновенным, а если она зависит от нескольких
аргументов и ДУ содержит ее частные производные по этим аргументам,
то оно называется уравнением с частными производными.
Порядком ДУ называется порядок высшей производной,
содержащейся в этом уравнении.
Функция
y=φ(x,C
1
,C
2
,…,C
n
),
(где С
1
,С
2
, ,С
n
-произвольные постоянные, количество которых равно
порядку ДУ) называется общим решением этого уравнения, если F(x, φ, φ
/
,
φ
//
,…, φ
(n)
)=0.
Решение ДУ, выраженное в неявном виде называется общим
интегралом ДУ.
Функции, получаемые из общего интеграла при различных числовых
значениях произвольных постоянных, называются частными интегралами
этого уравнения.
Геометрически каждому частному интегралу ДУ соответствует
плоская линия (его график), которая называется интегральной кривой этого
уравнения, а общему интегралу соответствует совокупность (семейство)
всех интегральных кривых.
Отыскание частного интеграла ДУ n-го порядка (n=1,2,3,…),
удовлетворяющего n начальным условиям вида y=(x
0
)=y
0
; y
/
=(x
0
)=y
/
0
;…;
y
(n-1)
(x
0
)=y
0
(n-1)
, называется задачей Коши.
В указанных n начальных условиях Коши задаются значениями
функции у и ее производных при некотором заданном значении
аргумента х=х
0
. По этим n начальным условиям определяются значения
всех n произвольных постоянных С
1
, С
2
,…,С
n
, входящих в общий интеграл
уравнения n-го порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение первого порядка
Р(х,у)dx+Q(x,y)dy=0
называется уравнением с разделяющимися переменными, если
функции Р и Q разлагаются на множители, зависящие каждый только от
одной переменной:
f
1
(x)f
2
(y)dx+g
1
(x)g
2
(y)dy =0.
После разделения переменных приходим к виду:
.0dy
)y(f
)y(g
dx
)x(
)x(
g
f
2
2
1
1
=+
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                            Введение
                 Дифференциальным           уравнением (ДУ), называется равенство,
         связывающее функцию, ее производные или дифференциалы и аргумент.
                                            F(x,y,y/,y//,…y(n)) = 0
                 Если неизвестная функция зависит только от одного аргумента, то
         ДУ называется обыкновенным, а если она зависит от нескольких
         аргументов и ДУ содержит ее частные производные по этим аргументам,
         то оно называется уравнением с частными производными.
                 Порядком ДУ называется порядок высшей производной,
         содержащейся в этом уравнении.
                 Функция
                                         y=φ(x,C1,C2,…,Cn),
                 (где С1,С2, ,Сn-произвольные постоянные, количество которых равно
         порядку ДУ) называется общим решением этого уравнения, если F(x, φ, φ/,
         φ//,…, φ(n))=0.
                 Решение ДУ, выраженное в неявном виде называется общим
         интегралом ДУ.
                 Функции, получаемые из общего интеграла при различных числовых
         значениях произвольных постоянных, называются частными интегралами
         этого уравнения.
                 Геометрически каждому частному интегралу ДУ соответствует
         плоская линия (его график), которая называется интегральной кривой этого
         уравнения, а общему интегралу соответствует совокупность (семейство)
         всех интегральных кривых.
                 Отыскание частного интеграла ДУ n-го порядка (n=1,2,3,…),
         удовлетворяющего n начальным условиям вида y=(x0)=y0; y/=(x0)=y/0;…;
         y(n-1)(x0)=y0(n-1), называется задачей Коши.
                 В указанных n начальных условиях Коши задаются значениями
         функции у            и ее производных при некотором заданном значении
         аргумента х=х0. По этим n начальным условиям определяются значения
         всех n произвольных постоянных С1, С2,…,Сn, входящих в общий интеграл
         уравнения n-го порядка.
                     Дифференциальные уравнения первого порядка.
                         Уравнения с разделяющимися переменными
              Уравнение первого порядка
                                   Р(х,у)dx+Q(x,y)dy=0
              называется уравнением с разделяющимися переменными, если
         функции Р и Q разлагаются на множители, зависящие каждый только от
         одной переменной:
                               f1(x)f2(y)dx+g1(x)g2(y)dy =0.
              После разделения переменных приходим к виду:
                                       f1 ( x )     g ( y)
                                                dx + 2       dy = 0.
                                       g1 ( x )     f 2 ( y)
                                                                                3
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы