Методические указания по дисциплине "Математика" для студентов заочного и дистанционного обучения экономических и инженерных специальностей. Картечина Н.В - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

4
Общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием
.Сdy
)y(f
)y(g
dx
)x(g
)x(f
2
2
1
1
=+
∫∫
Пример. Найти частный интеграл уравнения:
(1+у
2
)dx+(1+x
2
)dy=0,
удовлетворяющий начальному условию у(0)=1.
Решение
Найдем общий интеграл данного уравнения. С этой целью
проведем преобразования уравнения так, чтобы в левой части уравнения
содержалась переменная у и ее дифференциал исключительно в первой
степени, а в правой части– аналогично для независимой переменной х.
(1+х
2
)dy=-(1+y
2
)dx.
Для этого уравнения целесообразно разделить обе части на
(1+у
2
)(1+х
2
):
dy _ dx
1+y
2
1+x
2
Почленно интегрируя, получим искомый общий интеграл
arctgy=-arctgx+C
Отсюда можно выразить функцию
y=tg(C-arctgx).
Получили общее решение данного ДУ. Выделим теперь из общего
решения частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0)=1.
Заменяя в общем решении х и у начальными данными х=0, у=1, получим
1=tg(C-arctg0)
1=tgC
C=π/4.
Итак, искомое частное решение имеет вид:
y=tg(π/4-arctgx).
Решить следующие ДУ:
1. (2-y)dy=xdx Отв: x
2
+(y-2)
2
=C.
2. ydx-xdy=0 Отв: y=Cx.
3. (1+y)dx=(1-x)dy Отв: (1+у)(1-х)=С.
4. (1+y
3
)xdx-(1+x
2
)y
2
dy=0 Отв:
С
)у1(
)х1(
23
3
=
+
+
5.(t
2
-xt
2
)x
/
+x
2
+tx
2
=0 Отв: (t+x)/tx+ln(x/t)=C
6.(y-3)dx+x
2
dy=0 Отв: y-3=Ce
1/x
C
x1
dx
y1
dy
22
+
+
−=
+
∫∫
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                Общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием
                                   f1 ( x )       g 2 ( y)
                                 ∫ g ( x )dx + ∫ f ( y) dy = С.
                                    1             2
                Пример. Найти частный интеграл уравнения:
                                   (1+у2)dx+(1+x2)dy=0,
                удовлетворяющий начальному условию у(0)=1.

                                          Решение
               Найдем общий интеграл данного уравнения. С этой целью
         проведем преобразования уравнения так, чтобы в левой части уравнения
         содержалась переменная у и ее дифференциал исключительно в первой
         степени, а в правой части– аналогично для независимой переменной х.
                                        (1+х2)dy=-(1+y2)dx.
               Для этого уравнения целесообразно разделить обе части на
         (1+у )(1+х2):
             2

                                         dy    _ dx
                                           2
                                       1+y       1+x2
               Почленно интегрируя, получим искомый общий интеграл

                                           dy              dx
                                      ∫            = −∫            +C
                                          1 + y2          1 + x2
                                     arctgy=-arctgx+C
              Отсюда можно выразить функцию
                                          y=tg(C-arctgx).
              Получили общее решение данного ДУ. Выделим теперь из общего
         решения частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0)=1.
         Заменяя в общем решении х и у начальными данными х=0, у=1, получим
                                      1=tg(C-arctg0)
                                           1=tgC
                                           C=π/4.
              Итак, искомое частное решение имеет вид:
                                         y=tg(π/4-arctgx).

                        Решить следующие ДУ:
                1.     (2-y)dy=xdx              Отв: x2+(y-2)2=C.
                2. ydx-xdy=0                 Отв: y=Cx.
                3. (1+y)dx=(1-x)dy            Отв: (1+у)(1-х)=С.
                                              Отв: (1 + х ) = С
                                                             3
                4. (1+y3)xdx-(1+x2)y2dy=0
                                                    (1 + у 3 ) 2
                5.(t2-xt2)x/+x2+tx2=0         Отв: (t+x)/tx+ln(x/t)=C
                             2
                6.(y-3)dx+x dy=0             Отв: y-3=Ce1/x


         4
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы