Методические указания по дисциплине "Математика" для студентов заочного и дистанционного обучения экономических и инженерных специальностей. Картечина Н.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

6
у' = f (у/х).
С помощью подстановки у=tx однородное уравнение приводится к
уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой
неизвестной функции t.
Пример. xdy=(2y-x)dx.
Решение
Это уравнение однородное, т.к.
xk≡ k (x) и 2yk-xk≡ k(2y-x).
В данном случае k=1.
Заменим у=tx. Отсюда dy=xdt+tdx. Внесем замену:
х(xdt+tdx)=(2tx-x)dx.
Сократим на х:
xdt+tdx=(2t-1) dx,
xdt=( t-1) dx
получили уравнение с разделяющимися переменными.
x
dx
1
t
dt
=
−
,
∫∫
=
−
x
dx
1
t
dt
ln|t-1|=ln|x|+lnC=ln|Cx|
t-1=Cx,
y/x=Cx+1,
y=Cx
2
+x.
Решить следующее однородные ДУ:
1.xy'ln(x/y)=x+yln(y/x) Отв: (у/х)( ln(y/x)-1)=ln|x|+C
2.xy+y
2
=(2x
2
+xy)y' Отв: у
2
=Сх
-у/х
3.ху'-у=хtg(y/x) Отв: у=xarcsinCx
4. xy'=y+ xcos(y/x) Отв: y=2xarctgCx-π/2x
5.y'=4+y/x+(y/x)
2
Отв: arctg(0.5y/x)=2ln|x|+C
6.(x
2
+y
2
)dx=xydy Отв: y
2
=x
2
ln(Cx
2
)
7.xy'-y=xe
y/x
Отв: y=-xln(C/x)
8.(x-y)dx-(x+y)dy=0 Отв: y
2
+2xy-x
2
=C
9.(x+2y)dx-(2x+y)dy=0 Отв: (y-x)
3
=C
2
(x+y)
10.y'=y/xln(y/x) Отв: y=xe
1+Cx
11.y'=(x-y)/(x+y) Отв: x
2
-2xy-y
2
=C
12.(x-y)dx+xdy=0 Отв: xe
y/x
=C
13.y
2
dx+x
2
dy=xydy Отв: e
y/x
=Cy
14.(x
2
+y
2
)dy-2xydx=0 Отв: y=C(y
2
–x
2
)
15.y'=y/x+x/y Отв: y=x Cxln2 +
16.xdy-ycos(ln(y/x))dx=0 Отв: ln(y/x)=2arctg(lnx+C)
17.xy'sin(y/x)+x=ysin(y/x) Отв: Cx=e
cos(y/x)
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                        у' = f (у/х).
              С помощью подстановки у=tx однородное уравнение приводится к
         уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой
         неизвестной функции t.
              Пример. xdy=(2y-x)dx.
                                         Решение
              Это уравнение однородное, т.к.
                                   xk≡ k (x) и 2yk-xk≡ k(2y-x).
              В данном случае k=1.
              Заменим у=tx. Отсюда dy=xdt+tdx. Внесем замену:
                                      х(xdt+tdx)=(2tx-x)dx.
              Сократим на х:
                                        xdt+tdx=(2t-1) dx,
                                           xdt=( t-1) dx
              получили уравнение с разделяющимися переменными.
                                                  dt    dx
                                                      =     ,
                                                 t −1    x
                                                   dt     dx
                                             ∫        = ∫
                                                 t −1      x
                                          ln|t-1|=ln|x|+lnC=ln|Cx|
                                                   t-1=Cx,
                                                 y/x=Cx+1,
                                                  y=Cx2+x.

                        Решить следующее однородные ДУ:
                1.xy'ln(x/y)=x+yln(y/x)    Отв: (у/х)( ln(y/x)-1)=ln|x|+C
                       2     2
                2.xy+y =(2x +xy)y'         Отв: у2=Сх-у/х
                3.ху'-у=хtg(y/x)           Отв: у=xarcsinCx
                4. xy'=y+ xcos(y/x)        Отв: y=2xarctgCx-π/2x
                                 2
                5.y'=4+y/x+(y/x)           Отв: arctg(0.5y/x)=2ln|x|+C
                    2   2
                6.(x +y )dx=xydy           Отв: y2=x2ln(Cx2)
                7.xy'-y=xey/x               Отв: y=-xln(C/x)
                8.(x-y)dx-(x+y)dy=0         Отв: y2+2xy-x2=C
                9.(x+2y)dx-(2x+y)dy=0       Отв: (y-x)3=C2(x+y)
                10.y'=y/xln(y/x)            Отв: y=xe1+Cx
                11.y'=(x-y)/(x+y)           Отв: x2-2xy-y2=C
                12.(x-y)dx+xdy=0            Отв: xey/x=C
                13.y2dx+x2dy=xydy           Отв: ey/x=Cy
                14.(x2+y2)dy-2xydx=0        Отв: y=C(y2–x2)
                15.y'=y/x+x/y                Отв: y=x 2 ln x + C
                16.xdy-ycos(ln(y/x))dx=0     Отв: ln(y/x)=2arctg(lnx+C)
                17.xy'sin(y/x)+x=ysin(y/x)    Отв: Cx=ecos(y/x)

         6
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы