Методические указания по дисциплине "Математика" для студентов заочного и дистанционного обучения экономических и инженерных специальностей. Картечина Н.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

7
18.xy'2(y- xy ) Отв: 16xy=(y+4x-Cx
2
)
2
19.3ysin(3x/y)dx+[y-3xsin(3x/y)]dy=0 Отв: lny-cos(3x/y)=C
20.ydx-(x+
22
yx + )dy=0 Отв: y
2
-2Cx=C
2
21.x
2
y'=xy-y
2
Отв: y=x/(C+lnx)
22.xy
2
dy=(x
3
+y
3
)dx Отв: y
3
=3x
3
ln(Cx)
23.2x
2
y'=x
2
+y
2
Отв: y=x-2x/ln(Cx)
24.(x
2
+2xy)dx+xydy=0 Отв: ln|y+x|+x/(x+y)=C
25.xyy'=y
2
+2x
2
Отв: y
2
=x
2
ln(Cx
4
)
26.xy'-y=
x
y
arctg
x
Отв: Cxyln
x
y
arctg
x
y
22
=+−
27.xdy-(y-xtg(y/x))dx=0 Отв:xsin(y/x)=C
28.(x
2
+y
2
+xy)dx-x
2
dy=0 Отв:y=xtg(lnCx)
29.(x
2
+4xy)dy-2y
2
dx=0 Отв:2y
2
+xy-Cx=0
30.(y
4
-2x
3
y)dx+(x
4
-2y
3
x)dy=0 Отв: y
3
+x
3
=Cxy
Уравнения, приводящиеся к однородным
К однородным уравнениям приводятся уравнения вида:
dx
dy
=
cxx
cbyax
b
1
a
1
++
+
+
(1)
где a, b, c – const.
Если c=c
1
=0, то уравнение 1) – однородное. Пусть c и с
1
(или одно из
них) отлично от нуля. Сделаем замену переменных: x=x
1
+h
y=y
1
+k,
где k и h – пока неизвестные постоянные.
Тогда
x
1
y
1
x
1
y
1
d
d
)h(d
)k(d
dx
dy
=
+
+
=
(2)
где k и h – пока неизвестные постоянные.
Подставим в уравнение 1) значения
dx
dy
, где x, y:
x
y
1
d
d
=
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
11
ckbybxa
cbkahbyax
c)ky(b)hx(a
c)ky(b)hx(a
+++
+
+
+
+
=
++++
+
+
+
+
(3)
Подберем h и k так, чтобы выполнялось равенство
=++
=++
0ckbha
0cbkah
111
(4)
При условии (4) уравнение (3) становится однородным:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                18.xy'2(y- xy )                   Отв: 16xy=(y+4x-Cx2)2
                19.3ysin(3x/y)dx+[y-3xsin(3x/y)]dy=0 Отв: lny-cos(3x/y)=C
                20.ydx-(x+ x + y )dy=0
                                  2       2
                                                     Отв: y2-2Cx=C2
                21.x2y'=xy-y2                      Отв: y=x/(C+lnx)
                22.xy2dy=(x3+y3)dx                 Отв: y3=3x3ln(Cx)
                23.2x2y'=x2+y2                     Отв: y=x-2x/ln(Cx)
                24.(x2+2xy)dx+xydy=0               Отв: ln|y+x|+x/(x+y)=C
                25.xyy'=y2+2x2                     Отв: y2=x2ln(Cx4)
                              x                          y      y
                26.xy'-y=                         Отв:     arctg − ln y 2 + x 2 = C
                                      y                  x      x
                            arctg x
                27.xdy-(y-xtg(y/x))dx=0             Отв:xsin(y/x)=C
                28.(x2+y2+xy)dx-x2dy=0               Отв:y=xtg(lnCx)
                29.(x2+4xy)dy-2y2dx=0                Отв:2y2+xy-Cx=0
                30.(y4-2x3y)dx+(x4-2y3x)dy=0         Отв: y3+x3=Cxy

                            Уравнения, приводящиеся к однородным
                   К однородным уравнениям приводятся уравнения вида:
                                    dy ax + by + c
                                      =                (1)
                                    dx a1 x + b1 x + c
               где a, b, c – const.
               Если c=c1=0, то уравнение 1) – однородное. Пусть c и с1 (или одно из
         них) отлично от нуля. Сделаем замену переменных: x=x1+h
               y=y1+k,
               где k и h – пока неизвестные постоянные.
                        dy d ( y1 + k ) d y1
                Тогда     =            =                    (2)
                        dx d ( x1 + h ) d x1
                где k и h – пока неизвестные постоянные.
                                                        dy
                Подставим в уравнение 1) значения           , где x, y:
                                                        dx
                d y1 = a ( x1 + h ) + b( y1 + k ) + c = ax1 + by1 + ah + bk + c (3)
                d x1 a1 ( x1 + h ) + b1 ( y1 + k ) + c1  a1x1 + b1y1 + b1k + c1
                Подберем h и k так, чтобы выполнялось равенство
                                       ah + bk + c = 0
                                                              (4)
                                        1
                                        a  h + b 1 k + c 1 = 0
                При условии (4) уравнение (3) становится однородным:



                                                                                      7
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы