Методические указания по дисциплине "Математика" для студентов заочного и дистанционного обучения экономических и инженерных специальностей. Картечина Н.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

9
Cx
1
2
u1+
=e
arctgu
.
Подставляем вместо u значение
1
1
х
у
:
Сх
1
2
1
2
1
x
y
1 +
=
1
x
1
y
arctg
e
или С
=
+
2
1
2
1
ух
1
x
1
y
arctg
e
Переходим к исходным переменным х и у, с учетом значений h и k
(х
1
=х-2, у
1
=у-1) получаем общее решение исходного дифференциального
уравнения:
2
1
22
)1()2(
−
−
=−+−
x
y
arctg
еухС
(общее решение получено в неявном виде).
Система (4) не имеет решения, если
11
ba
ba
=0, т.е. ab
1
=a
1
b.
Тогда можно записать, что λ==
b
b
a
a
11
(где λ - некоторый
постоянный коэффициент) или a
1
=aλ, b
1
=bλ. В этом случае уравнение (1)
можно преобразовать к виду
1
C)byax(
C)byax(
dx
dy
++λ
+
+
=
( 5)
Полученное уравнение решаем с помощью подстановки
z=ax+by (6).
После дифференцирования
dx
dy
ba
dx
dz
+=
, выделяем
dy
:
b
a
dz
b
1
dy
−=
(7).
Подставляем формулы (6) и (7) в уравнение (5):
1
Cz
Cz
b
a
dx
dz
b
1
+λ
+
=−
,
а это есть уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 2. Решить уравнение
524
12
++
−
+
=
′
ух
ух
у
Решение
Это уравнение есть уравнение, приводящееся к однородному.
Если решать подстановкой x=x
1
+h, y=y
1
+k, то правая часть имеет
вид:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                               Cx1 1+u2 =earctgu.
                                                        у1
                Подставляем вместо u значение              :
                                                        х1
                                                        y                                y
                                         2   arctg 1                                arctg 1
                                        y1 e      x1                                     x1
                             Сх1 1 +       =         или С           х12 +у12 = e
                                         2
                                        x1
               Переходим к исходным переменным х и у, с учетом значений h и k
         (х1=х-2, у1=у-1) получаем общее решение исходного дифференциального
         уравнения:
                                                                             y −1
                                                                     arctg
                                       С ( х − 2) + ( у −1) = е
                                                    2            2           x −2


                (общее решение получено в неявном виде).
                Система (4) не имеет решения, если
                                        b a
                                          =0, т.е. ab1=a1b.
                                       b1 a1
                                           a1 b1
                Тогда можно записать, что     =      = λ (где λ - некоторый
                                           a      b
         постоянный коэффициент) или a1=aλ, b1=bλ. В этом случае уравнение (1)
         можно преобразовать к виду
                                      dy (ax + by) + C
                                        =                   ( 5)
                                      dx λ(ax + by) + C1
              Полученное уравнение решаем с помощью подстановки
                                          z=ax+by (6).
                                          dz             dy
              После дифференцирования         =a+b           , выделяем dy :
                                          dx             dx             dx
                                        dy 1 dz a (7).
                                           =       −
                                        dx b dx b
              Подставляем формулы (6) и (7) в уравнение (5):
                                        1 dz a       z+C ,
                                             − =
                                        b dx b λz + C1
              а это есть уравнение с разделяющимися переменными.
              Пример 2. Решить уравнение
                                                    2х + у −1
                                            у′ =
                                                   4х + 2у + 5
                                          Решение
                Это уравнение есть уравнение, приводящееся к однородному.
                Если решать подстановкой x=x1+h, y=y1+k, то правая часть имеет
         вид:



                                                                                              9
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы