Методические указания по дисциплине "Математика" для студентов заочного и дистанционного обучения экономических и инженерных специальностей. Картечина Н.В - 8 стр.

                                        dy1   ax1 + by1
                                            =           .
                                        dx1 a1x1 + b1y1
               Решив это уравнение, и вернувшись к исходным переменным х и у,
         получим решение уравнения (1)
                                          dy x + y − 3
              Пример1. Решить уравнение     =
                                          dx x − y − 1

                                                     Решение
                Делаем замену:х=х1+h
                               у=у1+k,
                                        dy1 x1 + y1 + h + k − 3
                  тогда dy = dy1   и        =                   , подбираем h и
                        dx dx1          dx1 x1 − y1 + h − k − 1
                                                          h + k − 3 = 0
                      такими, чтобы выполнялись равенства               .
                                                          h − k −1 = 0
              Решением данной системы будут h=2, k=1 (система имеет
         единственное решение). Определив h и k, решаем однородное уравнение
                                        dy1 x1 + y1 ,
                                             =
                                        dx1 x1 − y1
               используя подстановку
                                     y                         dy1          du
                                   u= 1          y1=ux1;           = u + x1     ,
                                       x1                      dx1          dx1
                подставляем в однородное уравнение
                                                      du x1 + ux1
                                                u + x1    =
                                                     dx1 x1 − ux1
                                                       du     1+ u
                                                u + x1      =
                                                       dx 1 1 − u
                                                        du 1 + u 2 ;
                                                     x1    =
                                                        dx1 1 − u
                                            1− u              dx1
                разделяем переменные                   du =
                                            1+ u     2        x1
                Ищем решение в виде:
                                                1− u              dx1
                                            ∫            du = ∫       + ln C
                                                1+ u   2           x1
                                                du
                                                 udu   dx1
                                        ∫ 2 ∫ 2 ∫ x + lnC
                                              −      =
                                         1+ u   1+ u    1
                                       arctgu - 1/2ln(1+u2)=lnx1+lnC


         8
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com