Методические указания по дисциплине "Математика" для студентов заочного и дистанционного обучения экономических и инженерных специальностей. Картечина Н.В - 10 стр.

                           2( x 1 + h ) + ( y1 + k ) − 1    2 x 1 + y1 + 2h + k − 1
                                                         =
                          4( x 1 + h ) + 2( y1 + k ) + 5 4 x 1 + 2 y1 + 4h + 2k + 5
                Подбираем h и k такими, чтобы выполнялось условие
                                         2h + k − 1 = 0   2 h + k = 1 .
                                                        ⇒     
                                         4h + 2k + 5 = 0      4 h + 2k = −5
               Однако главный определитель системы равен нулю:
                                     2 1
                                           = 2 ⋅ 2 − 4 ⋅1 = 0 ,
                                     4 2
               следовательно, система неразрешима (вырождена) и не имеет
         решения.
               Приводим исходное уравнение к уравнению с разделяющимися
         переменными с помощью подстановки z=2x+y, y=z-2x. Дифференцируем
         по х:
                                          dy dz
                                             =   − 2.
                                          dx dx
                Подставляем в исходное уравнение
                            dz      z −1    dz   z −1     dz 5z + 9 .
                               −2=        ⇒    =      +2⇒   =
                            dx     2z + 5   dx 2z + 5     dx 2z + 5

                Разделяем переменные 2 z + 5 dz = dx , ищем решение в виде:
                                           5z + 9
                                         2z + 5
                                       ∫ 5z + 9dz = ∫ dx + C ;
              после преобразования и вычисления интегралов получим:
                                    2    16
                                      z + ln | 5z + 9 |= x + C .
                                    5    25
              Переходим к исходным переменным
                             2           16
                               (2x + y) + ln | 5(2x + y) + 9 |= x + C
                             5           25
                           10y-15x+16ln|10x+5y+9|=C1 (где С1=5С).
              Т.о. получили общее решение дифференциального уравнения в
         неявном виде.
              Примечание. Приемы, примененные к интегрированию уравнения (1),
         применимы к интегрированию дифференциальных уравнений вида:
                                          dy       ax + by + c 
                                             = ∫                   
                                          dx       a 1 x + b1 y + c 
                      Решить ДУ, приводящиеся к однородным.
                1.(3y-7x+7)dx-(3x-7y-3)dy=0 Отв: (x+y-1)5(x-y-1)2=C.
                2.(x+2y+1)dx-(2x+4y+3)dy=0 Отв: ln(4x+8y+5)+8y-4x=C.
                3.(x+2y+1)dx-(2x-3)dy=0     Отв: ln(2x-3)- 4 y + 5 =C.
                                                           2x − 3

         10
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com