Методические указания по дисциплине "Математика" для студентов заочного и дистанционного обучения экономических и инженерных специальностей. Картечина Н.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

11
4.(2x-y+1)dx+(2y-x-1)dy=0 Отв: x
2
-xy+y
2
+x-y=C.
5.(y+2)dx-(2x+y-4)dy=0 Отв: x+y-1=C(y+2)
2
6.(x+y+1)dx+(2x+2y-1)dy=0 Отв: x+2y+3ln(x+y-2)=C.
7.(x+y-1)
2
dy=2(y+2)
2
dx Отв: y+2=C
3x
2y
arctg
e
−
+
−
.
8.(2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0 Отв: x
2
+y
2
+xy+x-y=C
2
-1.
9.(x+y+2)dx+(2x+2y-1)dy=0 Отв: x+2y+5ln|x+y-3|=C.
10.(2x+y-1)dx+(x-2y+3)dy=0 Отв: x
2
+xy-y
2
-x+3y=C.
Линейные уравнения первого порядка.
Уравнение вида у'+Р(х)у=Q(х), где Р(х) и Q(х) –функции,
содержащее функцию у и ее производную у' исключительно в первой
степени, называется линейным.
Можно использовать два метода решения уравнений данного вида:
метод Лагранжа и метод Бернулли.
1. Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).
Сначала находится общее решение линейного однородного
уравнения у'+Р(х)у=0, которое имеет вид
∫
−
=
dx)x(P
Cey
.
Затем определяется общее решение данного уравнения
у'+Р(х)у=Q(х)
в виде
∫
−
=
dx)x(P
e)х(Cy ,т.е. необходимо найти функцию С(х).
Для этого вычисляется у'=(С(х)
∫
−
dx
)x(P
e
)' и подставляется у и у' в
исходное уравнение.
Пример. е
х
у'+е
х
у=1.
Решение
Преобразуем данное уравнение, разделив на е
х
:
у'+у=е
-х
(*)
1. Метод Лагранжа. Соответствующее однородное уравнение имеет вид:
у'+у=0 - уравнение с разделяющимися переменными, т.к.
dx
dy
y =
′
, получим
y
dx
dy
−=
;
dx
y
dy
−=
.
Интегрируя, получим
ln|y|=-x+lnC,
откуда
у=Се
-х
– общее решение линейного однородного ДУ.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                4.(2x-y+1)dx+(2y-x-1)dy=0         Отв: x2-xy+y2+x-y=C.
                5.(y+2)dx-(2x+y-4)dy=0            Отв: x+y-1=C(y+2)2
                6.(x+y+1)dx+(2x+2y-1)dy=0         Отв: x+2y+3ln(x+y-2)=C.
                                                                          y+2
                                                                 −arctg
                         2
                7.(x+y-1) dy=2(y+2) dx2
                                                  Отв: y+2=C e        .   x −3
                                                        2  2          2
                8.(2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0         Отв: x +y +xy+x-y=C -1.
                9.(x+y+2)dx+(2x+2y-1)dy=0         Отв: x+2y+5ln|x+y-3|=C.
                10.(2x+y-1)dx+(x-2y+3)dy=0        Отв: x2+xy-y2-x+3y=C.

                          Линейные уравнения первого порядка.
               Уравнение вида у'+Р(х)у=Q(х), где              Р(х) и Q(х) –функции,
         содержащее функцию у и ее производную у' исключительно в первой
         степени, называется линейным.
               Можно использовать два метода решения уравнений данного вида:
         метод Лагранжа и метод Бернулли.
               1. Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).
               Сначала находится общее решение линейного однородного
         уравнения у'+Р(х)у=0, которое имеет вид
                                       y = Ce − ∫ P ( x )dx .
               Затем определяется общее решение данного уравнения
                                       у'+Р(х)у=Q(х)
                                  − P ( x ) dx
                в виде y = C( х )e ∫           ,т.е. необходимо найти функцию С(х).
              Для этого вычисляется у'=(С(х) e−∫ P(x)dx)' и подставляется у и у' в
         исходное уравнение.

                Пример. еху'+еху=1.
                                          Решение
               Преобразуем данное уравнение, разделив на ех:
                                           у'+у=е-х (*)
           1. Метод Лагранжа. Соответствующее однородное уравнение имеет вид:
          у'+у=0 - уравнение с разделяющимися переменными, т.к. y′ = dy , получим
                                                                     dx
                                          dy
                                              = −y ;
                                          dx
                                          dy
                                             = −dx .
                                           y
                Интегрируя, получим
                                       ln|y|=-x+lnC,
               откуда
                                           у=Се-х
               – общее решение линейного однородного ДУ.


                                                                                      11
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы