Методические указания по дисциплине "Математика" для студентов заочного и дистанционного обучения экономических и инженерных специальностей. Картечина Н.В - 12 стр.

                Полагая С=С(х), общее решение заданного уравнения будет иметь
         вид
                                       у=С(х)е-х. (**)
                Дифференцируя равенство (**), получим
                               у'=-С(х)е-х+С'(х)е-х       (***)
                Выражения (**) и (***) подставляем в (*):
                                                          dC
                            С'(х)е-х=е-х, т.е. С'(х)=1,      = 1 , dC=dx
                                                          dx
               Интегрируя, получим С=х+С1. Следовательно, искомое общее
         решение имеет вид у=(х+С1)е-х.
               2. Метод Бернулли. Посредством замены функции у произведением
         двух вспомогательных функций у=u(x)v(x) линейное уравнение сводится к
         двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой
         из вспомогательных функций.
               Пример у'+у=е-х

                                       Решение
              Пусть у=u(x)v(x), тогда y'=u'v+uv'. Подставив выражения у и у'
         данное уравнение, получим
                                       u’v+uv’+uv=e -x;
                                     v(u’+u)+uv’=e-x (1)
              Т.к. искомая функция у представлена в виде произведения двух
         вспомогательных функций u и v, то одну из них можно выбрать
         произвольно. Выберем в качестве u какой либо частный интеграл
         уравнения
                                      u'+u=0, т.е.
                                      du
                                          +u = 0
                                      dx
              - уравнение с разделяющимися переменными.
                                             du
                                            ∫ u = − ∫ dx ;
                                          ln|u|=-x;
                                            u=e-x
                Подставляя найденное для u выражение в(1), получим
                                      v’e-x = e-x; v’=1;
                                               dv
                                                  = 1;
                                               dx
                                         dv=dx;
                                         v=x+C.
                Тогда общее решение примет вид:
                                      y=uv=e-x(x+C).



         12
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com