Методические указания по дисциплине "Математика" для студентов заочного и дистанционного обучения экономических и инженерных специальностей. Картечина Н.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

14
Решение
Умножая обе части данного уравнения на dх и затем, интегрируя,
получаем уравнение 2-го порядка:
у'''dx=60х
2
dx;
y''=∫ 60х
2
dx;
y''=20х
3
+С
1
Далее тем же способом получаем уравнение 1-го порядка:
y''dx=20х
3
dx+С
1
dx;
y'=∫ 20х
3
dx+∫ С
1
dx;
y'=5х
4
+С
1
х+С
2
и затем искомую функцию – общий интеграл данного уравнения:
y'dx=(5х
4
+С
1
х+С
2
)dx; у=х
5
+С
1
х
2
/2+С
2
х+С
3.
2º Уравнения, не содержащие явно функции у
F(х,у
(k)
,у
(k+1)
,у
(n)
)=0.
Порядок уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную
функцию низшую из производных, входящую в уравнение, т.е. сделав
замену
y
(k)
=z.
Пример2. Решить уравнение (х-3)y''+y'=0
Решение
Полагая
y'=
dx
dy
=p,
получим
y''=
dx
dp
и после подстановки исходное уравнение обращается в уравнение 1-
го порядка:
0p
dx
dp
)3x( =+−
Разделяя переменные и интегрируя, найдем
0
3x
dx
p
dp
=
−
+
;
ln|p| +ln|x-3|=lnC;
|p(x-3)|=C;
p(x-3)=±C=C
1
.
Заменяя вспомогательную переменную p через
dx
dy
, получим
уравнение
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                           Решение
               Умножая обе части данного уравнения на dх и затем, интегрируя,
         получаем уравнение 2-го порядка:
                                       у'''dx=60х2dx;
                                       y''=∫ 60х2dx;
                                        y''=20х3+С1
               Далее тем же способом получаем уравнение 1-го порядка:
                                   y''dx=20х3dx+С1dx;
                                   y'=∫ 20х3dx+∫ С1dx;
                                      y'=5х4+С1х+С2
               и затем искомую функцию – общий интеграл данного уравнения:
         y'dx=(5х4+С1х+С2)dx; у=х5+С1х2/2+С2х+С3.
               2º Уравнения, не содержащие явно функции у
                                   F(х,у(k),у(k+1),у(n))=0.
               Порядок уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную
         функцию низшую из производных, входящую в уравнение, т.е. сделав
         замену
                                            y(k)=z.
               Пример2. Решить уравнение (х-3)y''+y'=0

                                              Решение
                Полагая
                                                     dy
                                              y'=       =p,
                                                     dx
                получим
                                                      dp
                                               y''=
                                                      dx
               и после подстановки исходное уравнение обращается в уравнение 1-
         го порядка:
                                                     dp
                                           (x − 3)      +p =0
                                                     dx
                Разделяя переменные и интегрируя, найдем
                                          dp    dx
                                             +     = 0;
                                           p   x−3
                                         ln|p| +ln|x-3|=lnC;
                                             |p(x-3)|=C;
                                           p(x-3)=±C=C1.
                                                                             dy
                Заменяя вспомогательную переменную p через                      , получим
                                                                             dx
         уравнение



         14
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы