Ряды. Картечина Н.В - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

5
Если же предел
n
n
Slim
∞→
не существует, то говорят, что ряд
∑
∞
=
1
i
n
a
расходится (и суммы не имеет).
Пример1. Ряд
a+aq+aq
2
+aq
3
+…+aq
n-1
+…,
составленный из членов геометрической прогрессии, сходится при
|q|<1; расходится при |q|>1.
Пример2. Ряд
1+
=++++ ...
n
1
...
3
1
2
1
∑
∞
=
1
n
n
1
называется гармоническим и является расходящимся.
Пример3. Ряд
1+
=++++ ...
n
1
...
3
1
2
1
ррр
∑
∞
=
1
n
р
n
1
называется обобщенным гармоническим (ряд Дирихле) и сходится
только при р>1, а при р≤1 ряд расходится.
Определение. Если в ряде
∑
∞
=
1
n
n
aотбросить первые m членов, полу-
чится ряд
∑
∞
+=
1
m
k
k
a=a
m+1
+a
m+2
+a
m+3
+…,
называемый остатком ряда после m-го члена.
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
Теорема 1. Если сходится ряд
∑
∞
=
1
n
n
a, сходится и любой из его остат-
ков
∑
∞
+=
1
m
k
k
a; из сходимости остатка вытекает сходимость исходного ряда.
Теорема 2. Если члены сходящегося ряда
∑
∞
=
1
n
n
aумножить на один и
тот же множитель с, его сходимость не нарушится (а сумма лишь умно-
жится на с).
Теорема 3. Два сходящихся ряда
∑
∞
=
1
n
n
a= a
1
+a
2
+…+a
n
+…
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                                              ∞
                 Если же предел lim Sn не существует, то говорят, что ряд
                                  n →∞
                                                                                             ∑ an
                                                                                             i =1
         расходится (и суммы не имеет).
                     Пример1. Ряд
                                      a+aq+aq2+aq3+…+aqn-1+…,
                составленный из членов геометрической прогрессии, сходится при
         |q|<1; расходится при |q|>1.
                     Пример2. Ряд
                                                              1             ∞
                                                  + ... = ∑
                                      1 1       1
                                         1+ + + ... +
                                      2 3       n         n =1n
                 называется гармоническим и является расходящимся.
                      Пример3. Ряд
                                                                                ∞   1
                                         1        1              1
                                    1+        +        + ... +        + ... =   ∑       р
                                         2р       3р             nр             n =1n
              называется обобщенным гармоническим (ряд Дирихле) и сходится
         только при р>1, а при р≤1 ряд расходится.
                                                      ∞
                 Определение. Если в ряде           ∑ a n отбросить первые m членов, полу-
                                                   n =1
         чится ряд
                                              ∞
                                             ∑ a k =am+1+am+2+am+3+…,
                                         k = m +1
         называемый остатком ряда после m-го члена.

                          НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
                                                           ∞
                 Теорема 1. Если сходится ряд             ∑ a n , сходится и любой из его остат-
                                                          n =1
                 ∞
         ков     ∑ a k ; из сходимости остатка вытекает сходимость исходного ряда.
               k = m +1
                                                                            ∞
                 Теорема 2. Если члены сходящегося ряда                    ∑ a n умножить на один и
                                                                           n =1
         тот же множитель с, его сходимость не нарушится (а сумма лишь умно-
         жится на с).
              Теорема 3. Два сходящихся ряда
                                         ∞
                                      ∑ a n = a1+a2+…+an+…
                                      n =1



                                                                                                    5

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы