Ряды. Картечина Н.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

6
∑
∞
=
1
n
n
b == b
1
+b
2
+…+b
n
+…
можно почленно складывать и вычитать, так что ряды
∑
∞
=
+
1
n
nn
)ba( ,
∑
∞
=
−
1
n
nn
)ba( сходятся и их суммы равны соответственно А+В, А-В, где А
и В – суммы исходных рядов.
Теорема 4. Необходимый признак сходимости ряда.
Если ряд
∑
∞
=
1
n
n
a - сходится, то
0alim
n
n
=
∞→
.
Следствие. Если
0alim
n
n
≠
∞→
, то ряд расходится.
Замечание. В случае, когда
0alim
n
n
=
∞→
, исходный ряд может быть
как сходящимся, так и расходящимся.
Пример 1. Написать первые шесть членов ряда
1n2
1
)1(
1
n
1n
−
−
∑
∞
=
−
.
Решение
Общий член ряда а
n=
1
)1(
1n
−
−
−
. Полагая в этой формуле
n=1, получим а
1
=
1
1
1
)1(
1
1
2
1
)1(
011
=−=
−
⋅
−
−
;
n=2, получим а
2
=
3
1
3
1
)1(
1
2
2
1
)1(
112
−=−=
−
⋅
−
−
;
n=3, получим а
3
=
1
1
)1(
1
)1(
213
=−=
−
⋅
−
−
;
n=4, получим а
4
=
7
1
7
1
)1(
1
4
2
1
)1(
314
−=−=
−
⋅
−
−
;
n=5, получим а
2
=
9
1
9
1
)1(
1
5
2
1
)1(
415
=−=
−
⋅
−
−
;
n=6, получим а
2
=
11
1
11
1
)1(
1
6
2
1
)1(
516
−=−=
−
⋅
−
−
.
Таким образом, данный ряд можно записать так:
...
1n2
1
)1(...
11
1
9
1
7
1
5
1
3
1
1
1n2
1
)1(
1n
1n
1n
+
−
−++−+−+−=
−
−
−
∞
=
−
∑
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                          ∞
                                          ∑ b n == b1+b2+…+bn+…
                                          n =1
                                                                                    ∞
         можно почленно складывать и вычитать, так что ряды                        ∑ (a n + b n ) ,
                                                                                   n =1
             ∞
          ∑ (a n − b n )   сходятся и их суммы равны соответственно А+В, А-В, где А
          n =1
         и В – суммы исходных рядов.
               Теорема 4. Необходимый признак сходимости ряда.
                             ∞
                 Если ряд    ∑ an   - сходится, то lim a n = 0 .
                                                      n →∞
                            n =1
                 Следствие. Если lim a n ≠ 0 , то ряд расходится.
                                      n →∞
                 Замечание. В случае, когда lim a n = 0 , исходный ряд может быть
                                                    n →∞
         как сходящимся, так и расходящимся.

                      Пример         1.       Написать     первые      шесть      членов       ряда
          ∞            1
         ∑ (−1) n −1 2n − 1 .
         n =1
                                                  Решение
                                                      1
                 Общий член ряда аn= (−1) n −1             . Полагая в этой формуле
                                                    2n − 1
                                                 1               1
                 n=1, получим а1= (−1)1−1              = ( −1) 0 = 1 ;
                                              2 ⋅1 − 1           1
                                                  1               1    1
                 n=2, получим а2= (−1) 2 −1             = ( −1)1 = − ;
                                              2 ⋅ 2 −1            3    3
                                                  1               1 1
                 n=3, получим а3= (−1) 3 −1             = (−1) 2 = ;
                                              2 ⋅ 3 −1            5 5
                                                   1               1     1
                 n=4, получим а4= ( −1) 4 −1             = ( −1) 3 = − ;
                                              2 ⋅ 4 −1             7     7
                                                   1                1 1
                 n=5, получим а2= (−1)5 −1               = (−1) 4 = ;
                                              2 ⋅ 5 −1              9 9
                                                   1                1     1
                 n=6, получим а2= (−1) 6 −1              = (−1) 5 = − .
                                              2 ⋅ 6 −1             11    11
                 Таким образом, данный ряд можно записать так:
                  ∞             1          1 1 1 1 1                              1
                  ∑ (−1) n −1 2n − 1 = 1 − 3 + 5 − 7 + 9 − 11 + ... + (−1) n −1 2n − 1 + ...
                 n =1


         6

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы