Ряды. Картечина Н.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

7
Пример 2. Найти формулу общего члена ряда
...
16
9
1
8
7
1
4
5
1
2
3
1
1−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
Решение
Можно заметить, что члены ряда – дроби, числитель каждой из ко-
торых равен единице (первый член тоже можно представить так: 1=
1
1
), а
знаменатель есть произведение нечетного числа 2n-1 на соответствующую
степень числа 2 (для первого члена это тоже верно:
0
2
1
1
1
⋅
=
). Далее, так
как члены ряда имеют чередующиеся знаки, нужно ввести множитель вида
(-1)
n-1
, чтобы получить искомую формулу
a
n
=
1n
1n
2)1n2(
1
)1(
−
−
⋅−
−
.
Пример 3. Найти формулу общего члена ряда
...
64
1
32
3
16
1
8
3
4
1
2
3
1+++++++
Решение
Каждый член ряда представляет собой дробь
n
n
n
q
p
а=, числитель
которой равен единице для членов с нечетными номерами и трем для чле-
нов с четными номерами, а знаменатель – соответствующей степени числа
2. Следовательно, числитель можно представить формулой p
n
=2+(-1)
n
, а
знаменатель – формулой q
n
=2
n-1
, поэтому
1n
n
n
)1(2
a
−
−+
=
.
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд
∑
∞
=
+
1n
1n
n
.
Решение
Общий член этого ряда выражается формулой
1
n
n
a
n
+
=.
1
1
1
lim
1n
n
limalim
n
1
nn
n
n
=
+
=
+
=
∞→∞→∞→
,
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                      Пример 2. Найти формулу общего члена ряда
                                    1     1     1      1
                                1−      +     −     +      − ...
                                   3 ⋅ 2 5 ⋅ 4 7 ⋅ 8 9 ⋅16

                                        Решение
                Можно заметить, что члены ряда – дроби, числитель каждой из ко-
                                                                                                    1
         торых равен единице (первый член тоже можно представить так: 1= ), а
                                                                                                    1
         знаменатель есть произведение нечетного числа 2n-1 на соответствующую
         степень числа 2 (для первого члена это тоже верно: 1 = 1 ). Далее, так
                                                                1⋅ 20
         как члены ряда имеют чередующиеся знаки, нужно ввести множитель вида
         (-1)n-1, чтобы получить искомую формулу
                                                                 1
                                        an= ( −1) n −1                        .
                                                         ( 2n − 1) ⋅ 2 n −1

                      Пример 3. Найти формулу общего члена ряда
                                   3 1 3 1 3 1
                                1 + + + + + + + ...
                                   2 4 8 16 32 64

                                               Решение
                                                                                           pn
                Каждый член ряда представляет собой дробь а n =                               , числитель
                                                                                           qn
         которой равен единице для членов с нечетными номерами и трем для чле-
         нов с четными номерами, а знаменатель – соответствующей степени числа
         2. Следовательно, числитель можно представить формулой pn=2+(-1)n, а
         знаменатель – формулой qn=2n-1, поэтому
                                               2 + (−1) n .
                                          an =
                                                 2 n −1
                                                            ∞
                    Пример 4. Исследовать на сходимость ряд ∑ n .
                                                                                  n =1n   +1

                                               Решение
                                                                                           n
                Общий член этого ряда выражается формулой a n =                                .
                                                                                          n +1
                                                  n          1
                                 lim a n = lim       = lim 1 = 1,
                                 n →∞      n → ∞ n +1 n → ∞ 1+
                                                               n




                                                                                                        7

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы