Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

122 Часть II. Нелокальный анализ
вид λ
0
≤ ln ε
−1
+const. (По-видимому, показатель λ
0
может совпадать хотя
бы по порядку при ε → 0 с этой оценкой, т.е. λ
0
∼ ln ε
−1
). Это означает,
что чем больше число разрывов имеет нелинейность f(s), тем сложнее ди-
намика решений соответствующего уравнения (и тем больше λ
0
). Важно
отметить, что для непрерывных нелинейных функций f(s) старший ляпу-
новский показатель λ
0
оценивается сверху из (4.7) числом, не зависящим
от ε при ε → 0. Такой же вывод можно получить и оценивая ляпуновскую
размерность. В случае непрерывной (гладкой) f(s) ляпуновская размер-
ность может неограниченно возрастать при ε → 0. Однако этот рост в
случае наличия разрывов f(s) может происходить существенно быстрее.
§5. Заключение
Cделаем несколько замечаний о сопоставлении поведения решений
уравнения (0.1) нелинейностями
f(x) = ax(1 + x
n
)
−1
, f(x) = Mx exp(−(x − γ)
2
), (5.1)
f(s) =
½
1, a ≤ s ≤ b,
0, s < a или s > b,
0 ≤ a < b ≤ 1, (5.2)
тем более, что чисто визуально эти нелинейности весьма похожи.
Сначала остановимся на некоторых общих моментах, которые имеют
место для каждой из рассматриваемых нелинейностей. Во-первых, при от-
носительно небольших значениях запаздывания T динамика довольно про-
стая. Она допускает исследование аналитическими методами. Следует, ко-
нечно, обратить внимание на то, что в случае нелинейности (5.2) всегда
асимптотически устойчивым является нулевое состояние равновесия. Во-
вторых, одни и те же асимптотические методы [8, 17] дают одинаковые
и эффективные результаты (о существовании и асимптотике устойчивого
цикла) при условии, когда в случае (5.1) параметры M или γ достаточно
велики, а в случае нелинейности (5.2) аналог соответствующей ситуации
выделяется условием достаточной малости параметров a и b. В-третьих,
при определенных a и b для нелинейности (5.2) наблюдаются похожие
структурные изменения решений. Кроме того, получены довольно близ-
кие результаты (см. [10, 41]) о зависимости корреляционной размерности и
старшего ляпуновского показателя от величины запаздывания T .
Отметим затем основные отличительные черты поведения решений в
случаях нелинейности (5.1) и (5.2).

Страницы