Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

120 Часть II. Нелокальный анализ
При малых значениях T в системе (0.1) устойчив предельный цикл, и, как
следствие, величина l
0
близка к нулю. При увеличении запаздывания до 10
величина l
0
растет до приблизительно 0.4, и при T , больших 10, прекращает
рост.
Рис. 21.
4.6. Асимптотическая оценка старшего ляпуновского показателя.
При изучении ляпуновских показателей необходимо рассмотреть лине-
аризированные на некотором решении x(t) уравнения (2.5)
ε ˙y + y = A(t)y(t − 1), (4.6)
где A(t) = f
0
(x(t − 1)). В том случае, когда функция A(t) ограничена на
[t
0
, ∞) : |A(t)| ≤ A
0
, старший ляпуновский показатель λ
0
уравнения (4.6)
оценивается сверху числом α
0
, где α
0
– корень с наибольшей вещественной
частью уравнения
λε + 1 = A
0
exp(−λ). (4.7)
В рассматриваемом нами случае такую оценку получить нельзя, по-
скольку функция f(x(t − 1)) разрывна, а значит, f
0
(x(t − 1)) содержит
δ-функции. В связи с этим оценим сверху норму оператора сдвига по тра-
екториям уравнения (4.6) за время t = 1.
Произведем сначала в уравнении (4.6) замену
y = z exp(−ε
−1
t).
В итоге получим уравнение
˙z = B(t, ε)z(t − 1), где B(t, ε) = ε
−1
A(t) exp(ε
−1
). (4.8)

Страницы