Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Числовые характеристики аттракторов уравнения... 121
Фиксируем произвольную функцию z(s) ∈ C
[0,1]
(s ∈ [0, 1]) и пусть
||z(s)||
C
[0,1]
≤ 1. (4.9)
Из (4.8) следует формула
z(t) = z(1) +
t
Z
1
B(τ, ε)z(τ − 1)dτ.
Учитывая, что кусочно-постоянная функция f(x(t − 1)) имеет разрывы в
точках t
j
+ 1 (j = 1, 2, . . . ; t
j
–корни уравнения (4.1) или (4.2)), приходим
к равенству
z(t) = z(1) +
³
n(t)
X
j=1
z(t
j
)( ˙x(t
j
))
−1
´
ε
−1
exp(ε
−1
),
в котором n(t) – количество значений t
j
из отрезка [0, t − 1]. Оце-
ним функцию z(t) при t ∈ [1, 2]. Прежде всего отметим, что
|˙x(t
j
)|
−1
≤ εm, где m = [min(1 − a, 1 − b, a, b)]
−1
Отсюда получаем, что
|z(t)| ≤ |z(1)| +
³
n(1)
X
j=1
|z(t
j
)|
´
m exp(ε
−1
).
Учитывая (4.9), приходим к оценке
||z(1 + s)||
C
[0,1]
≤ [1 + n(1)m exp(ε
−1
)]||z(s)||
C
[0,1]
. (4.10)
Для определения старшего ляпуновского показателя λ
0
решения x(t) необ-
ходимо находить при всех z(s) ∈ C
[0,1]
пределы
lim
t→∞
t
−1
ln ||y(t + s)||
C
[0,1]
= lim
t→∞
(t
−1
ln ||z(t + s)||
C
[0,1]
) − ε
−1
.
Из оценки (4.10) и из определения числа S (с точностью до асимптотически
малых при ε → 0 величин) приходим к итоговому соотношению
λ
0
≤ ln[mS]. (4.11)
Выше отмечалось, что для аттракторов с „наибольшей“ областью при-
тяжения величина S линейно зависит от ε
−1
. Тогда оценка (4.11) имеет

Страницы