ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
F (q, Q, t)
dF (q, Q, t) =
s
X
α=1
µ
∂F
∂q
α
dq
α
+
∂F
∂Q
α
dQ
α
¶
+
∂F
∂t
dt ,
dq
α
, dQ
α
dt,
q, p Q, P
p
α
=
∂F
∂q
α
, α = 1, ..., s ,
P
α
= −
∂F
∂Q
α
, α = 1, ..., s ,
H
0
= H +
∂F
∂t
.
q, P, t
q, Q, t,
P
α
dQ
α
= d (P
α
Q
α
) − Q
α
dP
α
.
s
X
α=1
(p
α
dq
α
+ Q
α
dP
α
) + (H
0
− H) dt = d
Ã
F (q, Q, t) +
s
X
α=1
P
α
Q
α
!
.
Φ q, P, t
Φ(q, P, t) =
"
F (q, Q, t) +
s
X
α=1
P
α
Q
α
#
Q=Q(q,P,t)
.
dΦ(q, P, t) =
s
X
α=1
µ
∂Φ
∂q
α
dq
α
+
∂Φ
∂P
α
dP
α
¶
+
∂Φ
∂t
dt
dq
α
, dP
α
, dt,
p
α
=
∂Φ
∂q
α
, α = 1, ..., s ,
Q
α
=
∂Φ
∂P
α
, α = 1, ..., s ,
H
0
= H +
∂Φ
∂t
.
q, p → Q, P
p, Q p, P.
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèå äëÿ äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè F (q, Q, t) Xs µ ¶ ∂F ∂F ∂F dF (q, Q, t) = dqα + dQα + dt , α=1 ∂q α ∂Q α ∂t è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè íåçàâèñèìûõ äèôôåðåíöèàëàõ dqα , dQα è dt, ïîëó- ÷èì ôîðìóëû ïåðåõîäà îò íàáîðà ïåðåìåííûõ q, p ê Q, P â âèäå ∂F pα = , α = 1, ..., s , (202) ∂qα ∂F Pα = − , α = 1, ..., s , (203) ∂Qα ∂F H0 = H + . (204) ∂t Òàêèì îáðàçîì, êàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî òèïà îïðåäåëÿþòñÿ çàäàíèåì íåêîòîðîé ôóíêöèè ñòàðûõ è íîâûõ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ñèñòåìû è âðå- ìåíè, â ñâÿçè ñ ÷åì ýòó ôóíêöèþ íàçûâàþò ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Òî æå ñàìîå ïðåîáðàçîâàíèå ìîæíî òàêæå çàäàòü ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùåé ôóíê- öèè, çàâèñÿùåé îò ñòàðûõ êîîðäèíàò è íîâûõ èìïóëüñîâ (è âðåìåíè). Äëÿ ýòîãî ñîâåð- øèì â óðàâíåíèè (201) ïðåîáðàçîâàíèå Ëåæàíäðà îò ïåðåìåííûõ q, P, t ê ïåðåìåííûì q, Q, t, íàïèñàâ òîæäåñòâåííî â åãî ïðàâîé ÷àñòè Pα dQα = d (Pα Qα ) − Qα dPα . Ïîëó÷èì s à s ! X X (pα dqα + Qα dPα ) + (H 0 − H) dt = d F (q, Q, t) + Pα Qα . (205) α=1 α=1 Îáîçíà÷èì âåëè÷èíó, ñòîÿùóþ ïîä çíàêîì ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî òîæäåñòâà ÷åðåç Φ è âûðàçèì åå ÷åðåç ïåðåìåííûå q, P, t ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé (202), (203): " # s X Φ(q, P, t) = F (q, Q, t) + Pα Qα . α=1 Q=Q(q,P,t) Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ äèôôåðåíöèàëà ýòîé ôóíêöèè Xs µ ¶ ∂Φ ∂Φ ∂Φ dΦ(q, P, t) = dqα + dPα + dt α=1 ∂qα ∂Pα ∂t â óðàâíåíèå (205) è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè íåçàâèñèìûõ äèôôåðåíöèàëàõ dqα , dPα , dt, ïîëó÷èì ôîðìóëû êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ â âèäå ∂Φ pα = , α = 1, ..., s , (206) ∂qα ∂Φ Qα = , α = 1, ..., s , (207) ∂Pα ∂Φ H0 = H + . (208) ∂t Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî áûëî áû çàäàòü ïåðåõîä q, p → Q, P ïîìîùüþ ïðîèçâî- äÿùåé ôóíêöèè, çàâèñÿùåé îò ïåðåìåííûõ p, Q èëè p, P. 68
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »