Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

F (q, Q, t)
dF (q, Q, t) =
s
X
α=1
µ
∂F
∂q
α
dq
α
+
∂F
∂Q
α
dQ
α
+
∂F
∂t
dt ,
dq
α
, dQ
α
dt,
q, p Q, P
p
α
=
∂F
∂q
α
, α = 1, ..., s ,
P
α
= −
∂F
∂Q
α
, α = 1, ..., s ,
H
0
= H +
∂F
∂t
.
q, P, t
q, Q, t,
P
α
dQ
α
= d (P
α
Q
α
) − Q
α
dP
α
.
s
X
α=1
(p
α
dq
α
+ Q
α
dP
α
) + (H
0
− H) dt = d
Ã
F (q, Q, t) +
s
X
α=1
P
α
Q
α
!
.
Φ q, P, t
Φ(q, P, t) =
"
F (q, Q, t) +
s
X
α=1
P
α
Q
α
#
Q=Q(q,P,t)
.
dΦ(q, P, t) =
s
X
α=1
µ
∂Φ
∂q
α
dq
α
+
∂Φ
∂P
α
dP
α
+
∂Φ
∂t
dt
dq
α
, dP
α
, dt,
p
α
=
∂Φ
∂q
α
, α = 1, ..., s ,
Q
α
=
∂Φ
∂P
α
, α = 1, ..., s ,
H
0
= H +
∂Φ
∂t
.
q, p → Q, P
p, Q p, P.
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèå äëÿ äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè F (q, Q, t)
                                 Xs µ                    ¶
                                      ∂F         ∂F         ∂F
                  dF (q, Q, t) =           dqα +      dQα +    dt ,
                                 α=1
                                      ∂q α       ∂Q α       ∂t
è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè íåçàâèñèìûõ äèôôåðåíöèàëàõ dqα , dQα è dt, ïîëó-
÷èì ôîðìóëû ïåðåõîäà îò íàáîðà ïåðåìåííûõ q, p ê Q, P â âèäå
                                     ∂F
                              pα =       , α = 1, ..., s ,                   (202)
                                     ∂qα
                                       ∂F
                             Pα = −        , α = 1, ..., s ,                 (203)
                                      ∂Qα
                                          ∂F
                             H0 = H +        .                               (204)
                                          ∂t
Òàêèì îáðàçîì, êàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî òèïà îïðåäåëÿþòñÿ
çàäàíèåì íåêîòîðîé ôóíêöèè ñòàðûõ è íîâûõ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ñèñòåìû è âðå-
ìåíè, â ñâÿçè ñ ÷åì ýòó ôóíêöèþ íàçûâàþò ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé êàíîíè÷åñêîãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ.
   Òî æå ñàìîå ïðåîáðàçîâàíèå ìîæíî òàêæå çàäàòü ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùåé ôóíê-
öèè, çàâèñÿùåé îò ñòàðûõ êîîðäèíàò è íîâûõ èìïóëüñîâ (è âðåìåíè). Äëÿ ýòîãî ñîâåð-
øèì â óðàâíåíèè (201) ïðåîáðàçîâàíèå Ëåæàíäðà îò ïåðåìåííûõ q, P, t ê ïåðåìåííûì
q, Q, t, íàïèñàâ òîæäåñòâåííî â åãî ïðàâîé ÷àñòè
                                Pα dQα = d (Pα Qα ) − Qα dPα .
Ïîëó÷èì
          s
                                                       Ã              s
                                                                                    !
          X                                                           X
                (pα dqα + Qα dPα ) + (H 0 − H) dt = d F (q, Q, t) +         Pα Qα       .   (205)
          α=1                                                         α=1
Îáîçíà÷èì âåëè÷èíó, ñòîÿùóþ ïîä çíàêîì ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà â ïðàâîé ÷àñòè
ýòîãî òîæäåñòâà ÷åðåç Φ è âûðàçèì åå ÷åðåç ïåðåìåííûå q, P, t ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé
(202), (203):                   "                      #
                                               s
                                               X
                    Φ(q, P, t) = F (q, Q, t) +   Pα Qα        .
                                                 α=1        Q=Q(q,P,t)
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ äèôôåðåíöèàëà ýòîé ôóíêöèè
                                Xs µ                  ¶
                                     ∂Φ        ∂Φ        ∂Φ
                  dΦ(q, P, t) =          dqα +     dPα +    dt
                                α=1
                                     ∂qα       ∂Pα       ∂t
â óðàâíåíèå (205) è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè íåçàâèñèìûõ äèôôåðåíöèàëàõ
dqα , dPα , dt, ïîëó÷èì ôîðìóëû êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ â âèäå
                                     ∂Φ
                               pα =      , α = 1, ..., s ,              (206)
                                     ∂qα
                                     ∂Φ
                              Qα =        , α = 1, ..., s ,             (207)
                                     ∂Pα
                                          ∂Φ
                               H0 = H +       .                         (208)
                                           ∂t
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî áûëî áû çàäàòü ïåðåõîä q, p → Q, P ïîìîùüþ ïðîèçâî-
äÿùåé ôóíêöèè, çàâèñÿùåé îò ïåðåìåííûõ p, Q èëè p, P.

                                            68

Страницы