Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Φ(q, P, t) =
s
X
α=1
q
α
P
α
+ φ(q, P, t) .
p
α
= P
α
+
∂φ
∂q
α
, α = 1, ..., s ,
Q
α
= q
α
+
∂φ
∂P
α
, α = 1, ..., s ,
H
0
= H +
∂φ
∂t
.
φ(q, P, t)
φ(q, P, t)
O(φ
2
) P p.
∂φ(q, P, t)/∂P ∂φ(q, p, t)/∂p .
P
α
= p
α
+ {φ, p
α
}
q,p
, α = 1, ..., s ,
Q
α
= q
α
+ {φ, q
α
}
q,p
, α = 1, ..., s ,
F (Q, P )
F (Q, P ) = F
µ
q +
∂φ
∂p
, p −
∂φ
∂q
= F (q, p) +
s
X
α=1
µ
∂F
∂q
α
∂φ
∂p
α
−
∂F
∂p
α
∂φ
∂q
α
,
F (Q, P ) = F (q, p) + {φ, F }
q,p
.
F, G. q, p Q, P
{F, G}
{F, G}
q,p
= {F, G}
Q,P
.
   Ÿ4. Áåñêîíå÷íî-ìàëûå êàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ

   Ëþáîå ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåìåííûõ, â òîì ÷èñëå è êàíîíè÷åñêîå, ìîæíî ïðåäñòàâèòü
êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áîëüøîãî ÷èñëà ïðåîáðàçîâàíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ áëèçêî ê
òîæäåñòâåííîìó. Äëÿ òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ìíîãèå ôîðìóëû è äîêàçàòåëüñòâà ñóùå-
ñòâåííî óïðîùàþòñÿ. Ðàññìîòðèì êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå, çàäàâàåìîå ïðîèçâî-
äÿùåé ôóíêöèåé
                                       s
                                       X
                          Φ(q, P, t) =   qα Pα + φ(q, P, t) .
                                       α=1

Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (206)  (208)
                                      ∂φ
                            pα = Pα +     ,       α = 1, ..., s ,               (214)
                                     ∂qα
                                      ∂φ
                           Qα = qα +      ,       α = 1, ..., s ,               (215)
                                     ∂Pα
                                     ∂φ
                           H0 = H +     .
                                     ∂t
Âèäíî, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ φ(q, P, t) ÿâëÿåòñÿ ìàëîé, òî ñòàðûå è íîâûå ïåðåìåííûå ìàëî
îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà.  ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëû ïåðåõîäà ìîæíî ïåðåïèñàòü â êîì-
ïàêòíîì âèäå ñ ïîìîùüþ ñêîáîê Ïóàññîíà. Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó φ(q, P, t)
ìàëà, òî ïðåíåáðåãàÿ âåëè÷èíàìè ïîðÿäêà O(φ2 ) åå àðãóìåíò P ìîæíî çàìåíèòü íà p.
Íàïðèìåð, ïðîèçâîäíûå ∂φ(q, P, t)/∂P ìîæíî çàìåíèòü íà ∂φ(q, p, t)/∂p . Òîãäà èñïîëü-
çóÿ ôîðìóëû (186), ïåðåïèøåì ôîðìóëû ïåðåõîäà îò ñòàðûõ ïåðåìåííûõ ê íîâûì â
âèäå

                        Pα = pα + {φ, pα }q,p ,      α = 1, ..., s ,            (216)
                        Qα = qα + {φ, qα }q,p ,      α = 1, ..., s ,            (217)

ãäå íèæíèé èíäåêñ ó ñêîáîê Ïóàññîíà óêàçûâàåò ïåðåìåííûå, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ
îíè îïðåäåëåíû. Çàìåòèì, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè F (Q, P ) òàêæå
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â àíàëîãè÷íîì âèäå, à èìåííî, èìååì
                     µ               ¶              Xs µ                 ¶
                          ∂φ      ∂φ                     ∂F ∂φ    ∂F ∂φ
        F (Q, P ) = F q +    ,p −      = F (q, p) +             −          ,
                          ∂p      ∂q                α=1
                                                         ∂qα ∂pα ∂pα ∂qα
ò.å.

                          F (Q, P ) = F (q, p) + {φ, F }q,p .                   (218)


   Òåîðåìà îá èíâàðèàíòíîñòè ñêîáîê Ïóàññîíà

   Ðàññìîòðèì äâå ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è îáîáùåííûõ èì-
ïóëüñîâ F, G. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè ïðåîáðàçîâàíèå îò ïåðåìåííûõ q, p ê Q, P ÿâëÿåòñÿ
êàíîíè÷åñêèì, òî çíà÷åíèå âåëè÷èíû {F, G} íå çàâèñèò îò òîãî, âû÷èñëÿåòñÿ ëè îíà ïî
ñòàðûì ïåðåìåííûì èëè ïî íîâûì, ò.å.

                               {F, G}q,p = {F, G}Q,P .

                                          70

Страницы