Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

J q, p Q, P.
J = det
∂Q
1
∂q
1
···
∂Q
1
∂q
s
∂Q
1
∂p
1
···
∂Q
1
∂p
s
∂Q
s
∂q
1
···
∂Q
s
∂q
s
∂Q
s
∂p
1
···
∂Q
s
∂p
s
∂P
1
∂q
1
···
∂P
1
∂q
s
∂P
1
∂p
1
···
∂P
1
∂p
s
∂P
s
∂q
1
···
∂P
s
∂q
s
∂P
s
∂p
1
···
∂P
s
∂p
s
O(φ). A
A
ik
= δ
ik
+ a
ik
, i, k = 1, ..., n, a
ik
O(a
2
),
det(δ
ik
+ a
ik
) = 1 +
n
X
i=1
a
ii
.
J = 1 +
s
X
α=1
∂{φ, q
α
}
∂q
α
+
s
X
α=1
∂{φ, p
α
}
∂p
α
= 1 +
s
X
α=1
∂
2
φ
∂q
α
∂p
α
−
s
X
α=1
∂
2
φ
∂p
α
∂q
α
= 1 ,
q(t) = ¯q(t), p(t) = ¯p(t) S[q(t), p(t)],
q
(1)
, t
1
, q
(2)
, t
2
,
S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
).
q
(1)
, t
1
, q
(2)
, t
2
.
q
α
(t
1
) = q
(1)
α
, q
α
(t
2
) = q
(2)
α
+ δq
(2)
, α = 1, ..., s .
ãäå J åñòü ÿêîáèàí ïðåîáðàçîâàíèÿ îò ïåðåìåííûõ q, p ê ïåðåìåííûì Q, P. Îí ïðåä-
ñòàâëÿåò ñîáîé îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, ñîñòàâëåííîé èç ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ íîâûõ
êîîðäèíàò ïî ñòàðûì:
                                ∂Q1        ∂Q1 ∂Q1             ∂Q1 
                                 ∂q1
                                      · · · ∂qs ∂p1
                                                          · · · ∂ps
                                ..          ..     ..           .. 
                                .            .      .            . 
                                ∂Qs                                  
                                     · · · ∂Q   s ∂Q   s
                                                          · · · ∂Q  s

                       J = det  ∂q 1       ∂q   s ∂p   1
                                ∂P1 · · · ∂P1 ∂P1 · · · ∂P1 
                                                                ∂p  s 

                                ∂q1        ∂qs ∂p1             ∂ps 
                                .            .      .            .. 
                                ..           ..     ..            . 
                                 ∂Ps        ∂Ps ∂Ps             ∂Ps
                                 ∂q1
                                      · · · ∂qs ∂p1 · · · ∂ps

Äëÿ áåñêîíå÷íî-ìàëîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (216), (217) ýòà ìàòðèöà îòëè÷àåòñÿ îò åäè-
íè÷íîé íà ÷ëåíû ïîðÿäêà O(φ). Åñëè ýëåìåíòû íåêîòîðîé ìàòðèöû A èìåþò âèä
Aik = δik + aik , i, k = 1, ..., n, ãäå âñå âåëè÷èíû aik ìàëû, òî, ïðåíåáðåãàÿ âåëè÷èíà-
ìè ïîðÿäêà O(a2 ), èìååì äëÿ åå îïðåäåëèòåëÿ:
                                                                n
                                                                X
                                     det(δik + aik ) = 1 +              aii .
                                                                 i=1

Ïðèìåíÿÿ ýòó ôîðìóëó ê ìàòðèöå ÿêîáèàíà ïðåîáðàçîâàíèÿ (216), (217), íàõîäèì
                s
                X                    s
                                     X                          s
                                                                X                X ∂ 2φs
                  ∂{φ, qα }            ∂{φ, pα }                         ∂ 2φ
        J =1+                    +                     =1+                     −            = 1,
                 α=1
                        ∂qα             α=1
                                              ∂pα               α=1
                                                                        ∂qα ∂pα α=1 ∂pα ∂qα

÷òî è äîêàçûâàåò ðàâåíñòâî (220).


  Ÿ5. Äåéñòâèå êàê ôóíêöèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè. Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ. Óðàâíå-
íèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè

   Êàê ìû âèäåëè â II Ÿ4, çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ íà äåéñòâèòåëüíîé òðàåêòî-
ðèè èìååò âàæíûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë  îíî îïðåäåëÿåò àìïëèòóäó ïåðåõîäà ñèñòåìû
â êâàçèêëàññè÷åñêîì ñëó÷àå. Òåïåðü ìû çàéìåìñÿ áîëåå ïîäðîáíûì èçó÷åíèåì ýòîé
âåëè÷èíû.
   Ïîëàãàÿ â q(t) = q̄(t), p(t) = p̄(t) ôóíêöèîíàëå S[q(t), p(t)], ìû ïîëó÷èì íåêîòîðóþ
ôóíêöèþ ïàðàìåòðîâ q (1) , t1 , q (2) , t2 , êîòîðûå îïðåäåëÿþò äåéñòâèòåëüíóþ òðàåêòîðèþ.
Îáîçíà÷èì ýòó ôóíêöèþ ÷åðåç S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ). Ñòðóêòóðó ýòîé ôóíêöèè ìîæíî îïðå-
äåëèòü, èññëåäóÿ êàê ìåíÿåòñÿ âåëè÷èíà äåéñòâèÿ ïðè ìàëîì èçìåíåíèè êàêîãî-ëèáî
èç ïàðàìåòðîâ q (1) , t1 , q (2) , t2 .


  Çàâèñèìîñòü äåéñòâèÿ îò êîîðäèíàò

  Ðàññìîòðèì äâå áëèçêèå äåéñòâèòåëüíûå òðàåêòîðèè ñèñòåìû, îäíà èç êîòîðûõ îïðå-
äåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè (46), à äðóãàÿ  óñëîâèÿìè

                   qα (t1 ) = qα(1) ,     qα (t2 ) = qα(2) + δq (2) ,      α = 1, ..., s .         (221)

                                                     72

Страницы