Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

[¯q(t), ¯p(t)]
[¯q(t) + δ¯q(t), ¯p(t) + δ¯p(t)].
q
(1)
t
1
, t
2
δq
(2)
.
S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
+ δq
(2)
, t
2
) − S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
)
=
t
2
Z
t
1
s
X
α=1
Ã
¯p
α
δ
˙
¯q
α
+
˙
¯q
α
δ¯p
α
−
∂H(q , ¯p, t)
∂q
α
¯
¯
¯
¯
q=¯q
δ¯q
α
−
∂H(¯q , p, t)
∂p
α
¯
¯
¯
¯
p=¯p
δ¯p
α
!
dt
=
s
X
α=1
¯p
α
δ¯q
α
¯
¯
¯
¯
¯
t
2
t
1
+
s
X
α=1
t
2
Z
t
1
Ã
−
"
˙
¯p
α
+
∂H(q , ¯p, t)
∂q
α
¯
¯
¯
¯
q=¯q
#
δ¯q
α
+
"
˙
¯q
α
−
∂H(¯q, p, t )
∂p
α
¯
¯
¯
¯
p=¯p
#
δ¯p
α
!
dt .
¯q(t), ¯p(t)
S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
+ δq
(2)
, t
2
) − S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
) =
s
X
α=1
¯p
α
(t
2
)δq
(2)
α
.
S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
+ δq
(2)
, t
2
) − S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
) =
∂S
∂q
(2)
δq
(2)
.
δq
(2)
α
, α = 1, ..., s,
∂S
∂q
(2)
α
= ¯p
α
(t
2
) , α = 1, ..., s .
∂S
∂q
(1)
α
= −¯p
α
(t
1
) , α = 1, ..., s .
q
α
(t
1
) = q
(1)
α
, q
α
(t
2
+ δt
2
) = q
(2)
α
, α = 1, ..., s ,
[¯q(t), ¯p(t)] [¯q(t) + δ¯q(t), ¯p(t) + δ¯p(t)],
q
(1)
t
1
,
Ôóíêöèè, îïèñûâàþùèå ýòè òðàåêòîðèè, îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç [q̄(t), p̄(t)] è
[q̄(t) + δ q̄(t), p̄(t) + δ p̄(t)]. Äðóãèìè ñëîâàìè, â îáîèõ ñëó÷àÿõ ñèñòåìà âûõîäèò èç òî÷êè
ñ êîîðäèíàòàìè q (1) â ìîìåíò âðåìåíè t1 , íî â ìîìåíò âðåìåíè t2 ïðèõîäèò â òî÷êè,
ðàçíîñòü êîîðäèíàò êîòîðûõ ðàâíà δq (2) . Ðàçíîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ
(190) äëÿ ýòèõ äâóõ òðàåêòîðèé åñòü

  S(q (1) , t1 ; q (2) + δq (2) , t2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 )
    Zt2 X  s
                Ã                                           ¯                       ¯      !
                                             ∂H(q, p̄, t) ¯¯          ∂H(q̄, p, t) ¯¯
  =                p̄α δ q̄˙α + q̄˙α δ p̄α −                ¯ δ q̄α −               ¯ δ p̄α dt
        α=1
                                               ∂q   α         q=q̄      ∂p  α         p=p̄
     t1
                  ¯t2        Ã "                    ¯ #           "                    ¯ #        !
     s
     X            ¯   Xs Zt2
                  ¯                                 ¯
                                       ∂H(q, p̄, t) ¯                                  ¯
                                                                          ∂H(q̄, p, t) ¯
  =     p̄α δ q̄α ¯ +         − p̄˙α +              ¯      δ q̄α + q̄˙α −              ¯     δ p̄α dt .
    α=1
                  ¯   α=1
                                         ∂qα          q=q̄                  ∂pα         p=p̄
                   t1            t1

Èíòåãðàëüíûé ÷ëåí â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ, ïîñêîëüêó òðà-
åêòîðèÿ q̄(t), p̄(t)  äåéñòâèòåëüíàÿ, ò.å. óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì Ãàìèëüòîíà (169),
(170). Ïîýòîìó ñ ó÷åòîì óñëîâèé (221) íàõîäèì
                                                                                             s
                                                                                             X
                           (1)        (2)        (2)                 (1)       (2)
                    S(q , t1 ; q            + δq , t2 ) − S(q , t1 ; q , t2 ) =                     p̄α (t2 )δqα(2) .   (222)
                                                                                              α=1

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé

                                                                                                ∂S (2)
                        S(q (1) , t1 ; q (2) + δq (2) , t2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ) =          δq .
                                                                                               ∂q (2)

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â óðàâíåíèå (222) è ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè íåçàâèñèìûõ âàðè-
        (2)
àöèÿõ δqα , α = 1, ..., s, ïîëó÷àåì

                                                 ∂S
                                                  (2)
                                                         = p̄α (t2 ) ,     α = 1, ..., s .                              (223)
                                              ∂qα
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî âûâåñòè ñîîòíîøåíèå

                                              ∂S
                                                 (1)
                                                        = −p̄α (t1 ) ,      α = 1, ..., s .                             (224)
                                             ∂qα

   Çàâèñèìîñòü äåéñòâèÿ îò âðåìåíè

  Ðàññìîòðèì òåïåðü äâå áëèçêèå òðàåêòîðèè, îäíà èç êîòîðûõ ïî-ïðåæíåìó îïðåäå-
ëÿåòñÿ óñëîâèÿìè (46), à äðóãàÿ  óñëîâèÿìè

                            qα (t1 ) = qα(1) ,      qα (t2 + δt2 ) = qα(2) ,         α = 1, ..., s ,                    (225)

ñíîâà îáîçíà÷àÿ ôóíêöèè, îïèñûâàþùèå ýòè òðàåêòîðèè, ýòè òðàåêòîðèè ÷åðåç
[q̄(t), p̄(t)] è [q̄(t) + δ q̄(t), p̄(t) + δ p̄(t)], ñîîòâåòñòâåííî. Äðóãèìè ñëîâàìè, â îáîèõ ñëó-
÷àÿõ ñèñòåìà âûõîäèò èç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè q (1) â ìîìåíò âðåìåíè t1 , íî â òî÷êó


                                                                73

Страницы