Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

δt
2
,
∂S
∂t
2
= −
¯
H(t
2
) .
∂S
∂t
1
=
¯
H(t
1
) .
g
t
1
t
2
− t
1
= t.
(q
(1)
, p
(1)
) ∈ g (q
(2)
, p
(2)
),
g G
dS(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
) =
s
X
α=1
£
¯p
α
(t
2
)dq
(2)
α
− ¯p
α
(t
1
)dq
(1)
α
¤
−
¯
H(t
2
)dt
2
+
¯
H(t
1
)dt
1
.
t
dt
2
= dt
1
,
s
X
α=1
¯p
α
(t
1
)dq
(1)
α
−
¯
H(t
1
)dt
1
=
s
X
α=1
¯p
α
(t
2
)dq
(2)
α
−
¯
H(t
2
)dt
1
− dS(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
1
+ t) .
g, G
(q
(1)
, p
(1)
) → (q
(2)
, p
(2)
).
F (q
(1)
, q
(2)
, t
1
) = −S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
1
+ t) ,
q
(1)
, p
(1)
q
(2)
, p
(2)
g G
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â óðàâíåíèå (226) è ñîêðàùàÿ íà δt2 , ïîëó÷àåì

                                                          ∂S
                                                              = −H̄(t2 ) .                                               (227)
                                                          ∂t2
Àíàëîãè÷íî âûâîäèòñÿ ñîîòíîøåíèå
                                                           ∂S
                                                               = H̄(t1 ) .                                               (228)
                                                           ∂t1

   Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ

   Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ îáëàñòü g â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå äàííîé ñèñòåìû. Êàê ìû
çíàåì, êàæäàÿ òî÷êà ýòîé îáëàñòè îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû. Áóäåì ñ÷è-
òàòü, ÷òî âñå ýòè ñîñòîÿíèÿ çàäàíû â ìîìåíò âðåìåíè t1 è ðàññìîòðèì èõ ýâîëþöèþ
çà ôèêñèðîâàííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè t2 − t1 = t. Ïî åãî èñòå÷åíèè êàæäîå ñîñòîÿ-
íèå (q (1) , p(1) ) ∈ g ïåðåéäåò â íåêîòîðîå êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå (q (2) , p(2) ), òàê ÷òî îáëàñòü
g îòîáðàçèòñÿ íà íåêîòîðóþ íîâóþ îáëàñòü G ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ñèñòåìû (ñì.
Ðèñ. 10). Âûÿñíèì, êàê ñîîòíîñÿòñÿ ôàçîâûå îáúåìû ýòèõ îáëàñòåé. Äëÿ ýòîãî çàìå-
òèì, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ (223), (224), (227), (228) ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùåìó âûðàæåíèþ
äëÿ ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà äåéñòâèÿ êàê ôóíêöèè êîîðäèíàò è âðåìåíè:
                                            s
                                            X
                  (1)          (2)
                                              £                                     ¤
          dS(q , t1 ; q , t2 ) =                   p̄α (t2 )dqα(2) − p̄α (t1 )dqα(1) − H̄(t2 )dt2 + H̄(t1 )dt1 . (229)
                                            α=1

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì t

                                                           dt2 = dt1 ,

ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (229) â âèäå
       s
       X                                           s
                                                   X
             p̄α (t1 )dqα(1)   − H̄(t1 )dt1 =             p̄α (t2 )dqα(2) − H̄(t2 )dt1 − dS(q (1) , t1 ; q (2) , t1 + t) .
       α=1                                          α=1
                                                                                                                         (230)

   Ïîñêîëüêó êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíûì, ñîîò-
âåòñòâèå ìåæäó òî÷êàìè îáëàñòåé g, G ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðåîáðàçîâàíèå êî-
îðäèíàò (q (1) , p(1) ) → (q (2) , p(2) ). Ñðàâíåíèå óðàâíåíèé (201) (230) ïîêàçûâàåò òîãäà, ÷òî
ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêèì ñ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé

                                     F (q (1) , q (2) , t1 ) = −S(q (1) , t1 ; q (2) , t1 + t) ,

ïðè÷åì q (1) , p(1) èãðàþò ðîëü ñòàðûõ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è îáîáùåííûõ èìïóëüñîâ,
à q (2) , p(2)  íîâûõ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âûøå áûëî äîêàçàíî, ÷òî ôàçîâûé îáúåì èíâà-
ðèàíòåí îòíîñèòåëüíî êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê
âûâîäó, ÷òî îáúåìû îáëàñòåé g è G ðàâíû, ò.å. ôàçîâûé îáúåì ñîõðàíÿåòñÿ ïðè äâè-
æåíèè ñèñòåìû. Ýòîò ðåçóëüòàò, íàçûâàåìûé òåîðåìîé Ëèóâèëëÿ, èãðàåò âàæíåéøóþ
ðîëü â ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå.

                                                               75

Страницы