Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

q, p → Q, P,
Φ(q, P, t) = S(q, P, t).
C
α
, α = 1, ..., s
P
α
, α = 1, ..., s. C
p
α
=
∂S
∂q
α
, α = 1, ..., s ,
Q
α
=
∂S
∂P
α
, α = 1, ..., s ,
H
0
= H +
∂S
∂t
.
S H
0
≡ 0.
Q, P
˙
P
α
= −
∂H
0
∂Q
α
= 0 ,
˙
Q
α
=
∂H
0
∂C
α
= 0 .
P
α
, α = 1, ..., s
C
α
Q
α
, α = 1, ..., s .
S(q, C, t) + A,
C A
S(q, C, t)
C,
Q :
∂S(q, C, t)
∂C
α
= Q
α
α = 1, ..., s .
ñêîå ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåìåííûõ q, p → Q, P, âûáðàâ â êà÷åñòâå ïðîèçâîäÿùåé ôóíê-
öèè Φ(q, P, t) = S(q, P, t). Äðóãèìè ñëîâàìè, ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü äåéñòâèÿ
îò Cα , α = 1, ..., s ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê çàâèñèìîñòü îò íîâûõ îáîáùåííûõ èìïóëüñîâ
Pα , α = 1, ..., s. Òàêîå ðàññìîòðåíèå äîïóñòèìî, ò.ê. ïîñòîÿííûå C ïî óñëîâèþ íåçàâè-
ñèìû è ïðîèçâîëüíû. Òîãäà ñîãëàñíî ôîðìóëàì ïåðåõîäà (206)  (208) áóäåì èìåòü

                                   ∂S
                               pα =    , α = 1, ..., s ,                          (232)
                                   ∂qα
                                   ∂S
                              Qα =      , α = 1, ..., s ,                         (233)
                                   ∂Pα
                                        ∂S
                              H0 = H +      .                                     (234)
                                         ∂t
Ïîñêîëüêó S óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (231), òî íîâàÿ ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà H 0 ≡ 0.
Ïîýòîìó óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà â íîâûõ ïåðåìåííûõ Q, P èìåþò ñëåäóþùèé ïðîñòîé
âèä

                                         ∂H 0
                                  Ṗα = −     = 0,                                (235)
                                         ∂Qα
                                        ∂H 0
                                  Q̇α =      = 0.                                 (236)
                                        ∂Cα
Èç óðàâíåíèÿ (235) ñëåäóåò ïîñòîÿíñòâî íîâûõ èìïóëüñîâ Pα , α = 1, ..., s (ýòè ïîñòî-
ÿííûå ìû áóäåì ïî-ïðåæíåìó îáîçíà÷àòü ÷åðåç Cα ), à èç óðàâíåíèÿ (236)  ïîñòîÿí-
ñòâî íîâûõ êîîðäèíàò Qα , α = 1, ..., s . Ó÷èòûâàÿ ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, âåðíåìñÿ ñíîâà ê
óðàâíåíèÿì (232)  (233). Ïåðâîå èç ýòèõ óðàâíåíèé âîñïðîèçâîäèò ñîîòíîøåíèå (223),
îïðåäåëÿþùåå îáîáùåííûå èìïóëüñû â äàííîé òî÷êå òðàåêòîðèè ïî äåéñòâèþ ñèñòåìû.
Âòîðîå æå ñâÿçûâàåò îáîáùåííûå êîîðäèíàòû ñèñòåìû è âðåìÿ, ò.å. îïðåäåëÿåò çàêîí
äâèæåíèÿ ñèñòåìû.
   Èòàê, ñôîðìóëèðóåì îáùèé àëãîðèòì ðåøåíèÿ îñíîâíîé çàäà÷è ìåõàíèêè â ìåòîäå
Ãàìèëüòîíà-ßêîáè.

  a. Ïî ôóíêöèè Ëàãðàíæà ñèñòåìû ïîñòðîèòü åå ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà [ñì. V Ÿ1].

  b. Ñ ïîìîùüþ íàéäåííîé ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà çàïèñàòü óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-
     ßêîáè (231).

  c. Íàéòè ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ S(q, C, t) + A, ñîäåðæàùåå íåçàâèñèìûå ïðîèç-
     âîëüíûå ïîñòîÿííûå C (ïîìèìî àääèòèâíîé ïîñòîÿííîé A) â ÷èñëå, ðàâíîì ÷èñëó
     ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû.

  d. Ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü íàéäåííóþ ôóíêöèþ S(q, C, t) ïî ïðîèçâîëüíûì ïîñòîÿí-
     íûì C, ïðèðàâíèâàÿ ðåçóëüòàòû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íîâûì ïðîèçâîëüíûì ïî-
     ñòîÿííûì Q :
                            ∂S(q, C, t)
                                        = Qα α = 1, ..., s .
                               ∂Cα




                                         77

Страницы