Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
). t
1
q
(1)
t
2
, q
(2)
,
t, q. S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
)
S(q, t).
q, p, H p
∂S
∂t
+ H
µ
q,
∂S
∂q
, t
= 0 .
S(q, t), s + 1
s q
α
t.
S(q, t) = A A.
s
s + 1
S
S(q, t)
S
0
(q, t) = S(q, t) + A.
S(q, C, t) + A, C = {C
α
}, α = 1, ..., s s
     Ðèñ. 10: Ýâîëþöèÿ îáëàñòè â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå â ñëó÷àå îäíîìåðíîé ñèñòåìû.


   Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè

     Ñîîòíîøåíèÿ (223), (227) ïîçâîëÿþò çàïèñàòü çàìêíóòîå óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè
S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ). Äëÿ ýòîãî çàôèêñèðóåì ìîìåíò âðåìåíè t1 è íà÷àëüíûå êîîðäèíàòû
q (1) è áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàâèñèìîñòü äåéñòâèÿ ëèøü îò ïàðàìåòðîâ t2 , q (2) , îáîçíà÷àÿ
èõ äëÿ êðàòêîñòè ïðîñòî t, q. Ñîîòâåòñòâåííî, îáîçíà÷åíèå S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ) ñîêðàòèì äî
S(q, t). Ïîñêîëüêó â äàëüíåéøåì âñå âåëè÷èíû âû÷èñëÿþòñÿ íà äåéñòâèòåëíîé òðàåê-
òîðèè, ÷åðòà íàä q, p, H áóäåò îïóñêàòüñÿ. Âûðàæàÿ àðãóìåíòû p ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà
â ïðàâîé ÷àñòè (227) ÷åðåç ïðîèçâîäíûå îò äåéñòâèÿ ñ ïîìîùüþ (223), ïðèõîäèì ê
óðàâíåíèþ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè
                                                  µ       ¶
                                           ∂S        ∂S
                                              + H q,    ,t = 0.                             (231)
                                           ∂t        ∂q

Óðàâíåíèå (231) ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì â ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ äåéñòâèÿ S(q, t), ÿâëÿþùåãîñÿ ôóíêöèåé îò s + 1
íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ: s êîîðäèíàò qα è âðåìåíè t. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî óðàâíåíèå
Ãàìèëüòîíà-ßêîáè âïîëíå ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèÿì Ãàìèëüòîíà (èëè Ëàãðàíæà), â
òîì ñìûñëå ÷òî ðåøåíèÿìè ýòîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òàêæå è çàêîí äâèæåíèÿ
ñèñòåìû. Îäíàêî äëÿ ýòîãî ïîäõîäèò äàëåêî íå âñÿêîå ðåøåíèå. Íàïðèìåð, óðàâíåíèå
(231) èìååò òàêîå ìàëîèíòåðåñíîå ðåøåíèå: S(q, t) = A ñ ïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿííîé A.
Âûäåëèì íóæíûé íàì êëàññ ðåøåíèé ñëåäóþùèì îïðåäåëåíèåì: ïîëíûì èíòåãðàëîì
óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè äëÿ ñèñòåìû ñ s ñòåïåíÿìè ñâîáîäû íàçûâàåòñÿ åãî ðåøå-
íèå, ñîäåðæàùåå ðîâíî s + 1 íåçàâèñèìûõ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ.
Îäíîé èç ýòèõ ïîñòîÿííûõ áóäåò àääèòèâíàÿ ïîñòîÿííàÿ, ïîñêîëüêó S âõîäèò â óðàâ-
íåíèå (231) òîëüêî ÷åðåç ñâîè ïðîèçâîäíûå, òàê ÷òî åñëè íåêîòîðîå S(q, t) ÿâëÿåòñÿ
åãî ðåøåíèåì, òî ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ è S 0 (q, t) = S(q, t) + A. Ïîëíûé èíòåãðàë áóäåì
îáîçíà÷àòü ÷åðåç S(q, C, t) + A, ãäå C = {Cα } , α = 1, ..., s åñòü íàáîð s íåçàâèñèìûõ
ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ.
   Ïîêàæåì òåïåðü êàêèì îáðàçîì ìîæíî íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ñèñòåìû, åñëè èçâå-
ñòåí ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè. Äëÿ ýòîãî ñîâåðøèì êàíîíè÷å-

                                              76

Страницы