Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

F
µ
q
1
, ..., q
s
, t,
∂S
∂q
1
, ...,
∂S
∂q
s
,
∂S
∂t
= 0 .
q
1
,
∂S/∂q
1
S
F
µ
f
µ
q
1
,
∂S
∂q
1
, q
2
, ..., q
s
, t,
∂S
∂q
2
, ...,
∂S
∂q
s
,
∂S
∂t
= 0 .
q
1
S(q, t) = S
1
(q
1
) + S
0
(q
2
, ..., q
s
, t) .
F
µ
f
µ
q
1
,
dS
1
dq
1
, q
2
, ..., q
s
, t,
∂S
0
∂q
2
, ...,
∂S
0
∂q
s
,
∂S
0
∂t
= 0 .
f (q
1
, dS
1
/dq
1
) ,
q
2
, ..., q
s
, t.
q
1
, ..., q
s
, t
f
µ
q
1
,
dS
1
dq
1
= C
1
.
F
µ
C
1
, q
2
, ..., q
s
, t,
∂S
0
∂q
2
, ...,
∂S
0
∂q
s
,
∂S
0
∂t
= 0 .
q
2
, ..., t
S = A + S
0
(t) +
s
X
α=1
S
α
(q
α
, C) ,
s+1 A, C
α
, α = 1, ..., s,
   Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè Ãàìèëüòîíà-ßêîáè

   Ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè ìîæåò áûòü íàéäåí â êâàäðàòóðàõ
â ñëó÷àå òàê íàçûâàåìûõ ðàçäåëÿþùèõñÿ ïåðåìåííûõ. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (231) ñõå-
ìàòè÷åñêè â âèäå
                         µ                                  ¶
                                          ∂S         ∂S ∂S
                      F q1 , ..., qs , t,     , ...,    ,     = 0.        (237)
                                          ∂q1        ∂qs ∂t
Ïóñòü êàêàÿ-ëèáî èç íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, ñêàæåì q1 , âõîäèò â ýòî óðàâíåíèå âìå-
ñòå ñ ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîèçâîäíîé ∂S/∂q1 â íåêîòîðîé êîìáèíàöèè, íå ñîäåðæàùåé
ÿâíî äðóãèõ ïåðåìåííûõ (íåÿâíî â S âõîäÿò âñå ïåðåìåííûå). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óðàâ-
íåíèå (237) èìååò ñïåöèàëüíûé âèä
                   µ µ        ¶                                       ¶
                           ∂S                       ∂S         ∂S ∂S
                 F f q1 ,       , q2 , ..., qs , t,     , ...,    ,     = 0.  (238)
                          ∂q1                       ∂q2        ∂qs ∂t
 ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ïåðåìåííàÿ q1 îòäåëÿåòñÿ. Òîãäà ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
Ãàìèëüòîíà-ßêîáè ìîæíî èñêàòü â âèäå
                               S(q, t) = S1 (q1 ) + S 0 (q2 , ..., qs , t) .      (239)
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå (238), ïîëó÷àåì
                 µ µ         ¶                                           ¶
                         dS1                       ∂S 0        ∂S 0 ∂S 0
                F f q1 ,       , q2 , ..., qs , t,      , ...,     ,       = 0.   (240)
                         dq1                       ∂q2         ∂qs ∂t
 ðåçóëüòàòå â óðàâíåíèè Ãàìèëüòîíà-ßêîáè âûäåëèëàñü êîìáèíàöèÿ f (q1 , dS1 /dq1 ) ,
êîòîðàÿ íè ÿâíî, íè íåÿâíî íå ñîäåðæèò ïåðåìåííûå q2 , ..., qs , t. Ïîñêîëüêó æå âñå ïå-
ðåìåííûå q1 , ..., qs , t â óðàâíåíèè Ãàìèëüòîíà-ßêîáè ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè, òî ðàâåí-
ñòâî (240) ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ýòà êîìáèíàöèÿ òîæäåñòâåííî
ðàâíà íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé:
                                        µ         ¶
                                              dS1
                                       f q1 ,       = C1 .                         (241)
                                              dq1
Óðàâíåíèå (241) ÿâëÿåòñÿ óæå îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî
ïîðÿäêà, êîòîðîå ìîæåò áûòü ðåøåíî â êâàäðàòóðàõ. Óðàâíåíèå æå (240) ïðèíèìàåò
âèä
                       µ                                            ¶
                                              ∂S 0        ∂S 0 ∂S 0
                     F C1 , q2 , ..., qs , t,      , ...,     ,       = 0. (242)
                                              ∂q2         ∂qs ∂t
Ýòî óðàâíåíèå èìååò òîò æå âèä, ÷òî è èñõîäíîå óðàâíåíèå (237), íî ñîäåðæèò íà îäíó
íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ ìåíüøå. Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî â óðàâíåíèè (242) íåêîòîðàÿ
èç ïåðåìåííûõ q2 , ..., t ñíîâà îòäåëÿåòñÿ. Òîãäà ê íåé ñëåäóåò ïðèìåíèòü îïèñàííóþ
âûøå ïðîöåäóðó. Åñëè òàêèì îáðàçîì óäàåòñÿ îòäåëèòü âñå ïåðåìåííûå, òî â ðåçóëüòàòå
ìû ïîëó÷àåì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè â âèäå
                                                        s
                                                        X
                                S = A + S0 (t) +              Sα (qα , C) ,       (243)
                                                        α=1

ñîäåðæàùåå s+1 íåçàâèñèìûõ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ A, Cα , α = 1, ..., s, ò.å. ïîëíûé
èíòåãðàë óðàâíåíèÿ.

                                                   78

Страницы