Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H Cl
r
i
, i = 1, ..., n
r
|r| À |r
i
|, i = 1, ..., n .
i r q
i
ϕ
i
=
q
i
|r − r
i
|
=
q
i
p
(r − r
i
)
2
≈
q
i
r
r
1 −
2(r, r
i
)
r
2
≈
q
i
r
µ
1 −
(r, r
i
)
r
2
≈
q
i
r
+
q
i
(r, r
i
)
r
3
.
n
P
i=1
q
i
= 0
ϕ =
(d, r)
r
3
, d =
n
X
i=1
q
i
r
i
.
d
d
r = 0 d.
L =
m
2
³
˙r
2
+ r
2
sin
2
θ
˙
φ
2
+ r
2
˙
θ
2
´
−
d cos θ
r
2
, d ≡ |d|.
p
r
=
∂L
∂ ˙r
= m ˙r , p
φ
=
∂L
∂
˙
φ
= mr
2
sin
2
θ
˙
φ , p
θ
=
∂L
∂
˙
θ
= mr
2
˙
θ ,
E =
m
2
³
˙r
2
+ r
2
sin
2
θ
˙
φ
2
+ r
2
˙
θ
2
´
+
d cos θ
r
2
.
H =
1
2m
µ
p
2
r
+
p
2
φ
r
2
sin
2
θ
+
p
2
θ
r
2
+
d cos θ
r
2
.
∂S
∂t
+
1
2m
(
µ
∂S
∂r
2
+
1
r
2
sin
2
θ
µ
∂S
∂φ
2
+
1
r
2
µ
∂S
∂θ
2
)
+
d cos θ
r
2
= 0 .
Ïðèìåð 21. Äâèæåíèå â ïîëå ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëÿ. Ðàññìîòðèì çàðÿæåííóþ ìàòå-
ðèàëüíóþ òî÷êó, äâèæóùóþñÿ â ïîëå ñèñòåìû çàðÿäîâ íà ðàññòîÿíèÿõ, áîëüøèõ ïî
ñðàâíåíèþ ñ õàðàêòåðíûìè ðàçìåðàìè ñèñòåìû. Äàæå åñëè ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ â öåëîì
ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíîé, íà òî÷êó áóäåò äåéñòâîâàòü íåêîòîðàÿ ñèëà áëàãîäàðÿ òîìó,
÷òî êóëîíîâû ïîëÿ ÷àñòèö, ñîñòàâëÿþùèõ ñèñòåìó, íå âïîëíå êîìïåíñèðóþò äðóã äðó-
ãà. Íàïðèìåð, ïðè äâèæåíèè ýëåêòðîíà â ïîëå ìîëåêóëû H Cl ýëåêòðîí áóäåò ïðèòÿãè-
âàòüñÿ ê ìîëåêóëå, îáëåòàÿ åå ñî ñòîðîíû àòîìà âîäîðîäà, è îòòàëêèâàòüñÿ ñî ñòîðîíû
àòîìà õëîðà. Îïðåäåëèì ïîòåíöèàë ïîëÿ òàêîé ñèñòåìû. Âûáåðåì íà÷àëî äåêàðòîâîé
ñèñòåìû êîîðäèíàò ãäå-íèáóäü âíóòðè ñèñòåìû è îáîçíà÷èì ÷åðåç ri , i = 1, ..., n ðàäèóñ-
âåêòîðû ñîñòàâëÿþùèõ åå ÷àñòèö, à ÷åðåç r  ðàäèóñ-âåêòîð ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Ïî
óñëîâèþ,
                               |r| À |ri | , i = 1, ..., n .
Äëÿ êóëîíîâà ïîòåíöèàëà i-îé ÷àñòèöû â òî÷êå r ìîæíî ïðèáëèæåííî íàïèñàòü (qi 
åå çàðÿä)
             qi          qi            qi               qi          q  q (r, r )
   ϕi =             =p            ≈ r             ≈ µ             ¶≈ i+ i 3 i .
          |r − ri |    (r − ri )2       2(r, ri )        (r, ri )    r    r
                                   r 1−            r 1−
                                          r2               r2
                                                                           P
                                                                           n
Ñóììèðóÿ ïî âñåì ÷àñòèöàì è ó÷èòûâàÿ íåéòðàëüíîñòü ñèñòåìû (                     qi = 0), ïîëó÷àåì
                                                                           i=1

                                                        n
                                                        X
                                      (d, r)
                                 ϕ=          ,     d=         qi ri .
                                        r3              i=1

Âåêòîð d íàçûâàåòñÿ äèïîëüíûì ìîìåíòîì ñèñòåìû. Íàéäåì çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè
â ñëó÷àå, êîãäà d íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Âûáåðåì ñôåðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ
íà÷àëîì â òî÷êå r = 0 è ïîëÿðíîé îñüþ, íàïðàâëåííîé ïàðàëëåëüíî âåêòîðó d. Òîãäà
ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà òî÷êè áóäåò èìåòü âèä
                     m³ 2                           ´ d cos θ
                L=       ṙ + r2 sin2 θ φ̇2 + r2 θ̇2 −        , d ≡ |d| .   (244)
                     2                                  r2
Îòñþäà íàõîäèì îáîáùåííûå èìïóëüñû è îáîáùåííóþ ýíåðãèþ òî÷êè
                 ∂L                      ∂L                          ∂L
             pr =      = mṙ , pφ =           = mr2 sin2 θ φ̇ , pθ =      = mr2 θ̇ ,         (245)
                 ∂ ṙ                    ∂ φ̇                        ∂ θ̇
                 m 2  ³                            ´  d cos θ
             E =        ṙ + r2 sin2 θ φ̇2 + r2 θ̇2 +          .
                 2                                      r2
Âûðàæàÿ îáîáùåííûå ñêîðîñòè ÷åðåç îáîáùåííûå èìïóëüñû è ïîäñòàâëÿÿ ðåçóëüòàò â
îáîáùåííóþ ýíåðãèþ, íàõîäèì ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà
                             µ                 ¶
                           1    2
                                     p2φ   p2θ   d cos θ
                     H=        pr + 2 2 + 2 +            .
                          2m       r sin θ r       r2
Íàêîíåö, ïî ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà çàïèñûâàåì óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè
                 (µ ¶              µ ¶2       µ ¶2 )
                        2
         ∂S    1    ∂S         1     ∂S     1 ∂S         d cos θ
            +             + 2 2           + 2          +         = 0.                        (246)
         ∂t   2m     ∂r     r sin θ ∂φ      r   ∂θ         r2

                                              79

Страницы