ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
C
1
, C
2
, C
3
.
p
r
p
θ
p
r
= ±
r
−2mC
1
−
C
3
r
2
, p
θ
= ±
r
C
3
− 2md cos θ −
C
2
2
sin
2
θ
.
r
˙r > 0 ˙r < 0 θ.
C
1
, C
2
, C
3
.
C
1
+ H(q, p, t) = 0 ,
C
1
p
φ
=
∂S
∂φ
= C
2
.
C
2
d.
E, p
φ
d
t, φ
(C
2
2
/ sin
2
θ + p
2
θ
+ 2md cos θ)
C
1
≡ −E, C
2
≡ M
z
, C
3
− t +
r
Z
r
0
mdr
±
r
2mE −
C
3
r
2
= Q
1
,
φ −
θ
Z
θ
0
M
z
dθ
±sin
2
θ
r
C
3
− 2md cos θ −
M
2
z
sin
2
θ
= Q
2
,
+
θ
Z
θ
0
dθ
±
r
C
3
− 2md cos θ −
M
2
z
sin
2
θ
−
r
Z
r
0
dr
±r
2
r
2mE −
C
3
r
2
= Q
3
.
òàê ÷òî íåçàâèñèìûìè ÿâëÿþòñÿ ëèøü ïîñòîÿííûå C1 , C2 , C3 . Èõ ÷èñëî ðàâíî ÷èñëó ñòåïåíåé ñâîáîäû ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, ñëåäîâàòåëüíî, âûðàæåíèå (247) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (246). Îïðåäåëèì çíàêè, ñ êîòîðûìè ñëåäóåò áðàòü êîðíè â ýòîì ðåøåíèè. Ïîäñòàâëÿÿ åãî â ñîîòíîøåíèÿ (232), íàõîäèì çíà÷åíèÿ îáîá- ùåííûõ èìïóëüñîâ pr pθ â äàííîé òî÷êå òðàåêòîðèè: r r C3 C22 pr = ± −2mC1 − 2 , pθ = ± C3 − 2md cos θ − . r sin2 θ Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî ôîðìóëàì (245) çíàêè ýòèõ èìïóëüñîâ ñîâïàäàþò ñî çíà- êàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé. Òàêèì îáðàçîì, ïîäûíòåãðàëüíîå âû- ðàæåíèå â èíòåãðàëå ïî r â ôîðìóëå (247) ñëåäóåò áðàòü ñ âåðõíèì (íèæíèì) çíàêîì, åñëè íà äàííîì ó÷àñòêå òðàåêòîðèè ṙ > 0 (ṙ < 0), è àíàëîãè÷íî äëÿ èíòåãðàëà ïî θ. Âûÿñíèì òåïåðü ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïîñòîÿííûõ C1 , C2 , C3 . Ïîäñòàâëÿÿ ðåøåíèå (247) â óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè íàõîäèì C1 + H(q, p, t) = 0 , ò.å. ïîñòîÿííàÿ C1 åñòü âåëè÷èíà îáîáùåííîé ýíåðãèè òî÷êè, âçÿòàÿ ñî çíàêîì ìèíóñ. Ïîäñòàíîâêà æå ðåøåíèÿ â ñîîòíîøåíèÿ (232) äàåò ∂S pφ = = C2 . ∂φ Òàêèì îáðàçîì, ïîñòîÿííàÿ C2 åñòü âåëè÷èíà ñîõðàíÿþùåéñÿ ïðîåêöèè ìîìåíòà èì- ïóëüñà òî÷êè íà íàïðàâëåíèå âåêòîðà d. Òî, ÷òî âåëè÷èíû E, pφ â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å ñîõðàíÿþòñÿ, ìîæíî áûëî óòâåð- æäàòü çàðàíåå, ïîñêîëüêó âðåìÿ â íåé îäíîðîäíî, à ïðîñòðàíñòâî èçîòðîïíî îòíî- ñèòåëüíî ïîâîðîòîâ ñèñòåìû (ìàòåðèàëüíîé òî÷êè) âîêðóã íàïðàâëåíèÿ d [ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà (244) íå çàâèñèò îò ïåðåìåííûõ t, φ ÿâíî]. Ñîõðàíåíèå æå êîìáèíàöèè (C22 / sin2 θ + p2θ + 2md cos θ) íèêàê íå ñâÿçàíî ñ ïîäîáíûìè ñèììåòðèÿìè è ÿâëÿåòñÿ ñïåöèôè÷åñêèì äëÿ äàííîé çàäà÷è.  òîì, ÷òî ìåòîä Ãàìèëüòîíà-ßêîáè ïîçâîëÿåò ðå- ãóëÿðíûì îáðàçîì íàõîäèòü òàêèå èíòåãðàëû äâèæåíèÿ, çàêëþ÷àåòñÿ åãî ñóùåñòâåííîå ïðåèìóùåñòâî ïî ñðàâíåíèþ ñ ëàãðàíæåâûì ìåòîäîì. Íàêîíåö, íàéäåì çàêîí äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Äèôôåðåíöèðóÿ ðåøåíèå (247) ïî ïîñòîÿííûì C1 ≡ −E, C2 ≡ Mz , C3 è ïðàðàâíèâàÿ ðåçóëüòàò íîâûì ïðîèçâîëü- íûì ïîñòîÿííûì, ïîëó÷àåì Zr mdr −t+ r = Q1 , (248) C3 r0 ± 2mE − 2 r Zθ Mz dθ φ− r = Q2 , (249) 2 Mz2 θ0 ± sin θ C3 − 2md cos θ − sin2 θ Zθ Zr dθ dr + r − r = Q3 . (250) Mz2 C 3 θ0 ± C3 − 2md cos θ − r0 ±r 2 2mE − 2 sin2 θ r 81