Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 81 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

C
1
, C
2
, C
3
.
p
r
p
θ
p
r
= ±
r
2mC
1
C
3
r
2
, p
θ
= ±
r
C
3
2md cos θ
C
2
2
sin
2
θ
.
r
˙r > 0 ˙r < 0 θ.
C
1
, C
2
, C
3
.
C
1
+ H(q, p, t) = 0 ,
C
1
p
φ
=
S
φ
= C
2
.
C
2
d.
E, p
φ
d
t, φ
(C
2
2
/ sin
2
θ + p
2
θ
+ 2md cos θ)
C
1
E, C
2
M
z
, C
3
t +
r
Z
r
0
mdr
±
r
2mE
C
3
r
2
= Q
1
,
φ
θ
Z
θ
0
M
z
±sin
2
θ
r
C
3
2md cos θ
M
2
z
sin
2
θ
= Q
2
,
+
θ
Z
θ
0
±
r
C
3
2md cos θ
M
2
z
sin
2
θ
r
Z
r
0
dr
±r
2
r
2mE
C
3
r
2
= Q
3
.
òàê ÷òî íåçàâèñèìûìè ÿâëÿþòñÿ ëèøü ïîñòîÿííûå C1 , C2 , C3 . Èõ ÷èñëî ðàâíî ÷èñëó
ñòåïåíåé ñâîáîäû ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, ñëåäîâàòåëüíî, âûðàæåíèå (247) ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (246). Îïðåäåëèì çíàêè, ñ êîòîðûìè ñëåäóåò áðàòü
êîðíè â ýòîì ðåøåíèè. Ïîäñòàâëÿÿ åãî â ñîîòíîøåíèÿ (232), íàõîäèì çíà÷åíèÿ îáîá-
ùåííûõ èìïóëüñîâ pr pθ â äàííîé òî÷êå òðàåêòîðèè:
                    r                      r
                               C3                               C22
              pr = ± −2mC1 − 2 , pθ = ± C3 − 2md cos θ −             .
                               r                              sin2 θ
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî ôîðìóëàì (245) çíàêè ýòèõ èìïóëüñîâ ñîâïàäàþò ñî çíà-
êàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé. Òàêèì îáðàçîì, ïîäûíòåãðàëüíîå âû-
ðàæåíèå â èíòåãðàëå ïî r â ôîðìóëå (247) ñëåäóåò áðàòü ñ âåðõíèì (íèæíèì) çíàêîì,
åñëè íà äàííîì ó÷àñòêå òðàåêòîðèè ṙ > 0 (ṙ < 0), è àíàëîãè÷íî äëÿ èíòåãðàëà ïî θ.
   Âûÿñíèì òåïåðü ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïîñòîÿííûõ C1 , C2 , C3 . Ïîäñòàâëÿÿ ðåøåíèå
(247) â óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè íàõîäèì

                                     C1 + H(q, p, t) = 0 ,

ò.å. ïîñòîÿííàÿ C1 åñòü âåëè÷èíà îáîáùåííîé ýíåðãèè òî÷êè, âçÿòàÿ ñî çíàêîì ìèíóñ.
Ïîäñòàíîâêà æå ðåøåíèÿ â ñîîòíîøåíèÿ (232) äàåò
                                              ∂S
                                       pφ =      = C2 .
                                              ∂φ
Òàêèì îáðàçîì, ïîñòîÿííàÿ C2 åñòü âåëè÷èíà ñîõðàíÿþùåéñÿ ïðîåêöèè ìîìåíòà èì-
ïóëüñà òî÷êè íà íàïðàâëåíèå âåêòîðà d.
   Òî, ÷òî âåëè÷èíû E, pφ â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å ñîõðàíÿþòñÿ, ìîæíî áûëî óòâåð-
æäàòü çàðàíåå, ïîñêîëüêó âðåìÿ â íåé îäíîðîäíî, à ïðîñòðàíñòâî èçîòðîïíî îòíî-
ñèòåëüíî ïîâîðîòîâ ñèñòåìû (ìàòåðèàëüíîé òî÷êè) âîêðóã íàïðàâëåíèÿ d [ôóíêöèÿ
Ëàãðàíæà (244) íå çàâèñèò îò ïåðåìåííûõ t, φ ÿâíî]. Ñîõðàíåíèå æå êîìáèíàöèè
(C22 / sin2 θ + p2θ + 2md cos θ) íèêàê íå ñâÿçàíî ñ ïîäîáíûìè ñèììåòðèÿìè è ÿâëÿåòñÿ
ñïåöèôè÷åñêèì äëÿ äàííîé çàäà÷è.  òîì, ÷òî ìåòîä Ãàìèëüòîíà-ßêîáè ïîçâîëÿåò ðå-
ãóëÿðíûì îáðàçîì íàõîäèòü òàêèå èíòåãðàëû äâèæåíèÿ, çàêëþ÷àåòñÿ åãî ñóùåñòâåííîå
ïðåèìóùåñòâî ïî ñðàâíåíèþ ñ ëàãðàíæåâûì ìåòîäîì.
   Íàêîíåö, íàéäåì çàêîí äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Äèôôåðåíöèðóÿ ðåøåíèå
(247) ïî ïîñòîÿííûì C1 ≡ −E, C2 ≡ Mz , C3 è ïðàðàâíèâàÿ ðåçóëüòàò íîâûì ïðîèçâîëü-
íûì ïîñòîÿííûì, ïîëó÷àåì
                                                    Zr
                                                                  mdr
                                              −t+             r          = Q1 ,   (248)
                                                                    C3
                                                    r0    ±    2mE − 2
                                                                    r
                                Zθ
                                                   Mz dθ
                           φ−                 r                      = Q2 ,       (249)
                                         2                    Mz2
                             θ0 ± sin θ     C3 − 2md cos θ −
                                                             sin2 θ
              Zθ                               Zr
                            dθ                            dr
            +      r                         −         r             = Q3 .       (250)
                                       Mz2                      C  3
              θ0 ±   C3 − 2md cos θ −          r0 ±r 2   2mE − 2
                                      sin2 θ                     r

                                              81