ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
r(t),
φ(θ) θ(r).
6
E, M
z
, C
3
, Q
1
, Q
2
, Q
3
,
S[¯q(t)] ≡ S(q
(1)
, t
1
, q
(2)
, t
2
) Ψ(q
(1)
, t
1
, q
(2)
, t
2
)
q
(1)
q
(2)
t
1
t
2
q
(2)
, t
2
,
S(q
(1)
, t
1
, q
(2)
, t
2
)
Ψ(q
(1)
, t
1
, q
(2)
, t
2
) q
(2)
, t
2
,
t
1
.
Ψ(q, t). S(q, t), Ψ(q, t)
Ψ(q, t) = a exp
½
i
~
S(q, t)
¾
.
Ψ(q, t),
m, U(r, t).
r (x
1
, x
2
, x
3
)
∂S
∂t
+
1
2m
3
X
k=1
µ
∂S
∂x
k
¶
2
+ U(r, t) = 0 .
∂Ψ
∂t
=
i
~
∂S
∂t
a exp
½
i
~
S
¾
=
i
~
∂S
∂t
Ψ ,
4Ψ ≡
3
X
k=1
∂
2
Ψ
∂x
2
k
=
3
X
k=1
∂
∂x
k
·
i
~
∂S
∂x
k
a exp
½
i
~
S
¾¸
=
3
X
k=1
"
−
1
~
2
µ
∂S
∂x
k
¶
2
a exp
½
i
~
S
¾
+
i
~
∂
2
S
∂x
2
k
a exp
½
i
~
S
¾
#
=
3
X
k=1
"
−
1
~
2
µ
∂S
∂x
k
¶
2
+
i
~
∂
2
S
∂x
2
k
#
Ψ .
4Ψ = −
1
~
2
3
X
k=1
µ
∂S
∂x
k
¶
2
Ψ .
Óðàâíåíèå (248) îïðåäåëÿåò â íåÿâíîì âèäå çàâèñèìîñòü r(t), à óðàâíåíèÿ (249), (250)
çàâèñèìîñòè φ(θ) è θ(r). Òàêèì îáðàçîì, ìû íàøëè ðåøåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â êâàäðàòóðàõ. Îíî ñîäåðæèò 6 íåçàâèñèìûõ ïðîèçâîëüíûõ ïî-
ñòîÿííûõ E, Mz , C3 , Q1 , Q2 , Q3 , êîòîðûå ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé.
6. Îòñòóïëåíèå â êâàíòîâóþ ìåõàíèêó: óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè êàê êâà-
çèêëàññè÷åñêèé ïðåäåë óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà
Êàê áûëî óêàçàíî â II 4, âåëè÷èíà ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ íà äåéñòâèòåëüíîé òðàåê-
òîðèè S[q̄(t)] ≡ S(q (1) , t1 , q (2) , t2 ) îïðåäåëÿåò àìïëèòóäó ïåðåõîäà Ψ(q (1) , t1 , q (2) , t2 ) êâà-
çèêëàññè÷åñêîé ñèñòåìû èç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè q (1) â òî÷êó q (2) íà èíòåðâàëå âðåìåíè
îò t1 äî t2 [ñì. ôîðìóëó (54)]. Ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê ôóíêöèÿ àðãóìåíòîâ q (2) , t2 , âåëè-
÷èíà S(q (1) , t1 , q (2) , t2 ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè (231). Àíàëîãè÷íî
ýòîìó, áóäåì ðàññìàòðèâàòü âåëè÷èíó Ψ(q (1) , t1 , q (2) , t2 ) êàê ôóíêöèþ àðãóìåíòîâ q (2) , t2 ,
íå èíòåðåñóÿñü ïîëîæåíèåì ñèñòåìû â ìîìåíò âðåìåíè t1 . Îáîçíà÷èì ýòó ôóíêöèþ ÷å-
ðåç Ψ(q, t). Ôóíêöèè S(q, t), Ψ(q, t) ïî-ïðåæíåìó ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì (54)
½ ¾
i
Ψ(q, t) = a exp S(q, t) . (251)
~
Ïðåîáðàçóåì òåïåðü óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè (231) ê âèäó, â êîòîðîì íåèçâåñòíîé
ôóíêöèåé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ Ψ(q, t), ðàññìàòðèâàÿ äëÿ ïðîñòîòû ñëó÷àé îäíîé ìàòåðè-
àëüíîé òî÷êè ìàññû m, äâèæóùåéñÿ â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå U (r, t). Äåêàðòîâû êîìïî-
íåíòû ðàäèóñ-âåêòîðà r òî÷êè îáîçíà÷èì ÷åðåç (x1 , x2 , x3 ) è ïðèìåì èõ çà îáîáùåííûå
êîîðäèíàòû. Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä
3 µ ¶2
∂S 1 X ∂S
+ + U (r, t) = 0 . (252)
∂t 2m ∂xk k=1
Äèôôåðåíöèðóÿ ñîîòíîøåíèå (251) îäèí ðàç ïî âðåìåíè è äâàæäû ïî êîîðäèíàòàì,
ïîëó÷àåì
½ ¾
∂Ψ i ∂S i i ∂S
= a exp S = Ψ, (253)
∂t ~ ∂t ~ ~ ∂t
X3 3 · ½ ¾¸
∂ 2Ψ X ∂ i ∂S i
4Ψ ≡ 2
= a exp S
k=1
∂xk k=1
∂xk ~ ∂xk ~
3
" µ ¶2 ½ ¾ ½ ¾#
X 1 ∂S i i ∂ 2S i
= − 2 a exp S + 2
a exp S
k=1
~ ∂x k ~ ~ ∂x k ~
3
" µ ¶2 #
X 1 ∂S i ∂ 2S
= − 2 + Ψ.
~ ∂xk
k=1
~ ∂x2k
 ñèëó óñëîâèÿ êâàçèêëàññè÷íîñòè ñèñòåìû (52) âòîðîé ÷ëåí â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ
â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâûì. Ïîýòîìó ìîæíî ïðèáëèæåííî
íàïèñàòü
3 µ ¶2
1 X ∂S
4Ψ = − 2 Ψ. (254)
~ ∂xk k=1
82
