Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

F G
{F (Q, P ), G(Q, P )}
q,p
.
O(φ
2
),
{F (Q, P ), G(Q, P )}
q,p
= {F (q, p) + {φ, F }
q,p
, G(q, p) + {φ, G}
q,p
}
q,p
= {F (q, p), G(q, p)}
q,p
+ {F, {φ, G}
q,p
}
q,p
+ {{φ, F }
q,p
, G}
q,p
= {F (q, p), G(q, p)}
q,p
+ {F, {φ, G}
q,p
}
q,p
+ {G, {F, φ}
q,p
}
q,p
.
−{φ, {G, F }}
q,p
.
{F (Q, P ), G(Q, P )}
q,p
= {F (q, p), G(q, p)}
q,p
+ {φ, {F, G}}
q,p
.
{F (Q, P ), G(Q, P )}
Q,P
,
s 2s
p
α
= ∂L/∂ ˙q
α
, α = 1, ..., s.
g γ :
γ =
Z
g
dγ , dγ =
s
Y
α=1
dq
α
dp
α
.
q, p
Q, P.
g, G.
Γ
Γ =
Z
G
dΓ , dΓ =
s
Y
α=1
dQ
α
dP
α
.
γ = Γ .
Z
G
dΓ =
Z
g
Jdγ ,
  Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü F è G êàê ôóíêöèè íîâûõ ïåðåìåííûõ è
ðàññìîòðèì ñêîáêè Ïóàññîíà {F (Q, P ), G(Q, P )}q,p . Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (218) è ïðåíå-
áðåãàÿ âåëè÷èíàìè ïîðÿäêà O(φ2 ), ýòè ñêîáêè ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü òàê:
            {F (Q, P ), G(Q, P )}q,p = {F (q, p) + {φ, F }q,p , G(q, p) + {φ, G}q,p }q,p
            = {F (q, p), G(q, p)}q,p + {F, {φ, G}q,p }q,p + {{φ, F }q,p , G}q,p
            = {F (q, p), G(q, p)}q,p + {F, {φ, G}q,p }q,p + {G, {F, φ}q,p }q,p .
Ñîãëàñíî òîæäåñòâó ßêîáè, ñóììà âòîðîãî è òðåòüåãî ÷ëåíîâ â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè
ðàâíà −{φ, {G, F }}q,p . Òàêèì îáðàçîì,
               {F (Q, P ), G(Q, P )}q,p = {F (q, p), G(q, p)}q,p + {φ, {F, G}}q,p .
 ñèëó ôîðìóëû (218) ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà åñòü â                                   òî÷íîñòè
{F (Q, P ), G(Q, P )}Q,P , ÷òî è äîêàçûâàåò èíâàðèàíòíîñòü ñêîáîê Ïóàññîíà.


  Òåîðåìà îá èíâàðèàíòíîñòè ôàçîâîãî îáúåìà

   Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, èìåþùóþ s ñòåïåíåé ñâîáîäû è ââåäåì 2s-ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî,
ñíàáæåííîå äåêàðòîâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò, ïî îñÿì êîòîðîé îòêëàäûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ
îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è îáîáùåííûõ èìïóëüñîâ ñèñòåìû. Ýòî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàþò
ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì ñèñòåìû. Êàæäàÿ åãî òî÷êà îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ñîñòîÿíèå
ñèñòåìû. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, äàííîìó â ãëàâå I, ñîñòîÿíèå ñèñòåìû
â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè åå îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è
îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé â ýòîò ìîìåíò, îáîáùåííûå æå ñêîðîñòè âçàèìíî-îäíîçíà÷íî
ñâÿçàíû ñ îáîáùåííûìè èìïóëüñàìè ñîîòíîøåíèÿìè pα = ∂L/∂ q̇α , α = 1, ..., s.
   Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ îáëàñòü g ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà è îïðåäåëèì åå îáúåì γ :
                                Z            Ys
                            γ = dγ , dγ =       dqα dpα .                     (219)
                                      g                  α=1


Ðàññìîòðèì, äàëåå, ïðîèçâîëüíîå êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå îò ïåðåìåííûõ q, p ê
íîâûì ïåðåìåííûì Q, P. Îáëàñòü â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, îáðàçîâàííîì íîâûìè ïå-
ðåìåííûìè, íà êîòîðóþ îòîáðàæàåòñÿ îáëàñòü g, îáîçíà÷èì ÷åðåç G. Îïðåäåëèì îáúåì
Γ ýòîé îáëàñòè ôîðìóëîé, àíàëîãè÷íîé (219):
                             Z             Ys
                         Γ = dΓ , dΓ =        dQα dPα .
                                  G                    α=1

Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
                                              γ = Γ.                                          (220)
Äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè äëÿ áåñêîíå÷íî-ìàëîãî êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðà-
çîâàíèÿ. Ñîãëàñíî èçâåñòíîé ôîðìóëå çàìåíû ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ â êðàòíîì
èíòåãðàëå,                       Z      Z
                                   dΓ = Jdγ ,
                                          G        g


                                              71

Страницы