Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

¯q(t), ¯p(t)
¯q(t), ¯p(t)+ δp(t), δp(t)
δS = S[¯q(t), ¯p(t) + δp(t)] − S[¯q(t), ¯p(t)] =
t
2
Z
t
1
s
X
α=1
Ã
˙
¯q
α
−
∂H(¯q, p, t)
∂p
α
¯
¯
¯
¯
p=¯p
!
δp
α
dt .
δp
α
,
α = 1, .., s ¯q(t) ¯p(t)
˙
¯q
α
−
∂H(¯q, p, t)
∂p
α
¯
¯
¯
¯
p=¯p
= 0 , α = 1, ..., s ,
s
p(t),
˙q(t)
q(t).
Q
α
= Q
α
(q, p, t) , P
α
= P
α
(q, p, t) , α = 1, ..., s ,
q, p Q, P
Q, P
˙
P
α
= −
∂H
0
∂Q
α
, α = 1, ..., s ,
˙
Q
α
=
∂H
0
∂P
α
, α = 1, ..., s ,
H
0
= H
0
(Q, P, t).
  Ðàññìîòðèì òåïåðü âàðèàöèþ äåéñòâèÿ ïðè ïåðåõîäå îò òðàåêòîðèè q̄(t), p̄(t) ê áëèç-
êîé âèðòóàëüíîé òðàåêòîðèè q̄(t), p̄(t) + δp(t), ãäå δp(t)  ïðîèçâîëüíûå ìàëûå ôóíêöèè
âðåìåíè:

                                                     Zt2 Xs
                                                             Ã                     ¯ !
                                                                     ∂H(q̄, p, t) ¯¯
    δS = S[q̄(t), p̄(t) + δp(t)] − S[q̄(t), p̄(t)] =          q̄˙α −               ¯     δpα dt . (193)
                                                         α=1
                                                                       ∂pα          p=p̄
                                                     t1

Ñíîâà íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ìèíèìàëüíîñòè äåéñòâèÿ ÿâëÿåòñÿ îáðàùåíèå ïðàâîé ÷à-
ñòè ðàâåíñòâà (193) â íóëü, îòêóäà ââèäó íåçàâèñèìîñòè è ïðîèçâîëüíîñòè âàðèàöèé δpα ,
α = 1, .., s ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè q̄(t), p̄(t) äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèÿì
                                                ¯
                                  ∂H(q̄, p, t) ¯¯
                           q̄˙α −               ¯      = 0 , α = 1, ..., s ,
                                    ∂pα           p=p̄

ò.å. îñòàâøèìñÿ s óðàâíåíèÿì Ãàìèëüòîíà (170).


  Ÿ3. Êàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ

   Êàê áûëî óñòàíîâëåíî â I Ÿ3, óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà êîâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîá-
ðàçîâàíèé îáîáùåííûõ êîîðäèíàò, ò.å. èìåþò îäèí è òîò æå âèä ïðè ëþáîì èõ âûáîðå.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî è óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà òàêæå êîâàðèàíòíû, ïîñêîëüêó ïî ïî-
ñòðîåíèþ îíè èìåþò îäèí è òîò æå âèä (169), (170) íåçàâèñèìî îò êîíêðåòíîãî âûáîðà
îáîáùåííûõ êîîðäèíàò. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàê ìû âèäåëè â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, â
ãàìèëüòîíîâîé ôîðìóëèðîâêå ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ ôóíêöèè p(t), çàìåíÿ-
þùèå îáîáùåííûå ñêîðîñòè q̇(t) ëàãðàíæåâà ôîðìàëèçìà, ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè îò
ôóíêöèé q(t). Ýòîò ôàêò ïîçâîëÿåò ðàñøèðèòü ïîíÿòèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ â
ãàìèëüòîíîâîì ôîðìàëèçìå, âêëþ÷èâ â íåãî íàðÿäó ñ ïðåîáðàçîâàíèÿìè îáîáùåííûõ
êîîðäèíàò òàêæå è ïðåîáðàçîâàíèÿ îáîáùåííûõ èìïóëüñîâ ñèñòåìû. Èòàê, â îáùåì
ñëó÷àå òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå èìååò âèä

                    Qα = Qα (q, p, t) ,   Pα = Pα (q, p, t) ,   α = 1, ..., s ,                  (194)

ãäå q, p è Q, P  íàáîðû ñòàðûõ è íîâûõ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è îáîáùåííûõ èì-
ïóëüñîâ, ñîîòâåòñòâåííî. Èç âñåõ òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò
ïðåîáðàçîâàíèÿ, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà êîâàðèàíòíû. Èìåííî,
íàçîâåì ïðåîáðàçîâàíèå (194) êàíîíè÷åñêèì, åñëè â íîâûõ ïåðåìåííûõ Q, P óðàâíåíèÿ
äâèæåíèÿ èìåþò êàíîíè÷åñêèé âèä

                                        ∂H 0
                                  Ṗα = −     , α = 1, ..., s ,                                  (195)
                                        ∂Qα
                                       ∂H 0
                                 Q̇α =      , α = 1, ..., s ,                                    (196)
                                       ∂Pα
ñ íåêîòîðîé íîâîé ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà H 0 = H 0 (Q, P, t).
   Ãàìèëüòîíîâà ôîðìóëèðîâêà ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ, èçëîæåííàÿ â ïðåäû-
äóùåì ïóíêòå, äàåò âîçìîæíîñòü î÷åíü ïðîñòî âûäåëèòü âàæíûé è øèðîêèé ïîäêëàññ


                                                66

Страницы