Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

{q
α
, f}
{p
α
, f}.
{q
α
, f} = −
∂f
∂p
α
, {p
α
, f} =
∂f
∂q
α
.
{p
α
, q
β
} = δ
αβ
, {q
α
, q
β
} = 0 , {p
α
, p
β
} = 0 .
x, y
{M
x
, M
y
} = {(yp
z
− zp
y
), (zp
x
− xp
z
)}
= {yp
z
, zp
x
} − {zp
y
, zp
x
} − {yp
z
, xp
z
} + {zp
y
, xp
z
}
= y{p
z
, z}p
x
+ p
y
{z, p
z
}x .
{p
z
, z} = −{z, p
z
} = 1,
{M
x
, M
y
} = yp
x
− p
y
x = −M
z
.
{M
y
, M
z
} = −M
x
, {M
z
, M
x
} = −M
y
.
v, {v
x
, v
y
}.
v
{v
x
, v
y
} =
½
1
m
³
p
x
−
q
c
A
x
(r, t)
´
,
1
m
³
p
y
−
q
c
A
y
(r, t)
´
¾
= −
q
m
2
c
[{A
x
(r, t), p
y
} + {p
x
, A
y
(r, t)}]
=
q
m
2
c
·
∂A
x
(r, t)
∂y
−
∂A
y
(r, t)
∂x
¸
,
{v
x
, v
y
} = −
q
m
2
c
H
z
.
ñêîáêè Ïóàññîíà ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì ïî îáîáùåííûì êîîðäèíàòàì è îáîáùåííûì èì-
ïóëüñàì, òî â ðåçóëüòàòå òàêîãî óïðîùåíèÿ ïðèõîäÿò ê ñêîáêàì Ïóàññîíà âèäà {qα , f }
èëè {pα , f }. Èç îïðåäåëåíèÿ (176) ñëåäóåò, ÷òî
                                             ∂f                      ∂f
                             {qα , f } = −       ,     {pα , f } =       .              (186)
                                             ∂pα                     ∂qα
 ÷àñòíîñòè,

                      {pα , qβ } = δαβ ,     {qα , qβ } = 0 ,   {pα , pβ } = 0 .        (187)

Ñêîáêè (187) íàçûâàþò ôóíäàìåíòàëüíûìè ñêîáêàìè Ïóàññîíà.

Ïðèìåð 17. Ñêîáêè Ïóàññîíà êîìïîíåíò ìîìåíòà èìïóëüñà. Íàéäåì ñêîáêè Ïóàññîíà
x, y -êîìïîíåíò ìîìåíòà èìïóëüñà ÷àñòèöû, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî îáîáùåííûìè êîîðäèíà-
òàìè ÿâëÿþòñÿ äåêàðòîâû êîìïîíåíòû åå ðàäèóñ-âåêòîðà. Èìååì

               {Mx , My } = {(ypz − zpy ), (zpx − xpz )}
                          = {ypz , zpx } − {zpy , zpx } − {ypz , xpz } + {zpy , xpz }
                          = y{pz , z}px + py {z, pz }x .                                (188)

Äëÿ êðàòêîñòè, â ïîñëåäíåé ñòðîêå çäåñü âûïèñàíû ëèøü ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå íåíóëåâûå
ôóíäàìåíòàëüíûå ñêîáêè Ïóàññîíà. Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà {pz , z} = −{z, pz } = 1, íàõîäèì

                                {Mx , My } = ypx − py x = −Mz .
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëû

                           {My , Mz } = −Mx ,          {Mz , Mx } = −My .
Èç ýòèõ ôîðìóë è òåîðåìû Ïóàññîíà ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïðîåêöèè ìîìåíòà èìïóëüñà íà
êàêèå-ëèáî äâå äåêàðòîâû îñè (èíåðöèàëüíîé) ñèñòåìû îòñ÷åòà ñîõðàíÿþòñÿ, òî ñîõðà-
íÿåòñÿ òàêæå è åãî ïðîåêöèÿ íà òðåòüþ îñü.

Ïðèìåð 18. Ñêîáêè Ïóàññîíà êîìïîíåíò ñêîðîñòè ÷àñòèöû â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå.
Ðàññìîòðèì, äàëåå, çàðÿæåííóþ ÷àñòèöó â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå è âû÷èñëèì ñêîáêè
Ïóàññîíà êîìïîíåíò âåêòîðà åå ñêîðîñòè v, íàïðèìåð, {vx , vy }. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî
ñíà÷àëà âûðàçèòü êîìïîíåíòû âåêòîðà v ÷åðåç îáîáùåííûå êîîðäèíàòû è îáîáùåííûå
èìïóëüñû ÷àñòèöû ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (173). Âûïèñûâàÿ îïÿòü ëèøü íåòðèâèàëüíûå
ñêîáêè Ïóàññîíà, ïîëó÷àåì
                            ½ ³                  ´ 1 ³                 ´¾
                              1        q                       q
               {vx , vy } =       px − Ax (r, t) ,       py − Ay (r, t)
                             m         c            m          c
                               q
                          = − 2 [{Ax (r, t), py } + {px , Ay (r, t)}]
                             m ·c                         ¸
                             q    ∂Ax (r, t) ∂Ay (r, t)
                          = 2               −               ,                   (189)
                            mc       ∂y           ∂x
èëè, èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå (25),
                                                         q
                                      {vx , vy } = −         Hz .
                                                        m2 c

                                                  64

Страницы