Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

S[q(t), p(t)] =
t
2
Z
t
1
Ã
s
X
α=1
p
α
˙q
α
− H(q, p, t)
!
dt ,
q
α
(t
1
) = q
(1)
α
, q
α
(t
2
) = q
(2)
α
, α = 1, ..., s .
S[q(t), p(t)] p(t)
q(t),
S[q(t), p(t)] ¯q(t), ¯p(t), ¯q(t)
¯q(t) + δq(t), ¯p(t), δq(t)
δq
α
(t
1
) = δq
α
(t
2
) = 0 , α = 1, ..., s .
δS = S[¯q(t) + δq(t), ¯p(t)] − S[¯q(t), ¯p(t)] =
t
2
Z
t
1
s
X
α=1
¯p
α
δ ( ˙q
α
) −
s
X
α=1
∂H(q, ¯p, t)
∂q
α
¯
¯
¯
¯
¯
q=¯q
δq
α
dt .
δS =
s
X
α=1
¯p
α
δq
α
¯
¯
¯
¯
¯
t
2
t
1
−
t
2
Z
t
1
s
X
α=1
Ã
˙
¯p
α
+
∂H(q, ¯p, t)
∂q
α
¯
¯
¯
¯
q=¯q
!
δq
α
dt .
δq(t),
δS = 0.
δq
α
,
α = 1, ..., s :
˙
¯p
α
+
∂H(q, ¯p, t)
∂q
α
¯
¯
¯
¯
q=¯q
= 0 , α = 1, ..., s .
¯q(t), ¯p(t) s
   Ÿ2. Ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ

  Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç ïðèíöèïà ìèíè-
ìàëüíîñòè äåéñòâèÿ (47), òàê è óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç óñëîâèÿ
ìèíèìàëüíîñòè ñëåäóþùåãî ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ

                                               Zt2 ÃX
                                                    s
                                                                                  !
                         S[q(t), p(t)] =                      pα q̇α − H(q, p, t) dt ,                            (190)
                                               t1      α=1


â êîòîðîì ïî-ïðåæíåìó ïðåäïîëàãàþòñÿ ôèêñèðîâàííûìè çíà÷åíèÿ îáîáùåííûõ êîîð-
äèíàò â íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé ìîìåíòû âðåìåíè:

                          qα (t1 ) = qα(1) ,        qα (t2 ) = qα(2) ,   α = 1, ..., s .                          (191)

ïðè÷åì ïðè îòûñêàíèè ìèíèìóìà äåéñòâèÿ S[q(t), p(t)] ôóíêöèè p(t) âàðüèðóþòñÿ
íåçàâèñèìî îò ôóíêöèé q(t), ÷òî è îòðàæåíî äîáàâëåíèåì âòîðîãî àðãóìåíòà â îáîçíà-
÷åíèè ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ.
    Âûâîä óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ âïîëíå àíàëîãè-
÷åí âûâîäó óðàâíåíèé Ëàãðàíæà, ïîäðîáíî ðàçîáðàííîìó â II Ÿ3. Ïóñòü ôóíêöèîíàë
S[q(t), p(t)] ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå íà ôóíêöèÿõ q̄(t), p̄(t), ãäå q̄(t) óäîâëåòâî-
ðÿþò óñëîâèÿì (191). Ðàññìîòðèì âèðòóàëüíóþ òðàåêòîðèþ, îïèñûâàåìóþ ôóíêöèÿìè
q̄(t) + δq(t), p̄(t), ãäå ìàëûå ôóíêöèè δq(t) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì

                              δqα (t1 ) = δqα (t2 ) = 0 ,            α = 1, ..., s .                              (192)

Ïðè ýòîì äåéñòâèå ïîëó÷àåò ïðèðàùåíèå
                                                                                                   ¯         
                                                        Zt2    X s                 Xs               ¯
                                                                                      ∂H(q, p̄, t) ¯
δS = S[q̄(t) + δq(t), p̄(t)] − S[q̄(t), p̄(t)] =                    p̄α δ (q̇α ) −                  ¯      δqα  dt .
                                                                α=1                α=1
                                                                                         ∂q α       ¯
                                                        t1                                          q=q̄


Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (29) è èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷àåì
                                   ¯t2 Zt2     Ã                      ¯ !
                         s
                         X         ¯       Xs
                                                        ∂H(q, p̄, t) ¯¯
                                   ¯
                  δS =     p̄α δqα ¯ −           p̄˙α +               ¯     δqα dt .
                       α=1
                                   ¯       α=1
                                                          ∂qα          q=q̄
                                      t1       t1


Ïîñêîëüêó ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (190) ëèíåéíà ïî âàðèàöèè δq(t), íåîáõîäèìûì
óñëîâèåì ìèíèìóìà äåéñòâèÿ ÿâëÿåòñÿ δS = 0. Ïåðâûé ÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòè (193)
ðàâåí íóëþ â ñèëó óñëîâèé (192), èíòåãðàëüíûé æå ÷ëåí ìîæåò áûòü ðàâåí íóëþ, òîëü-
êî åñëè ðàâíû íóëþ ìíîæèòåëè ïðè âñåõ íåçàâèñèìûõ ïðîèçâîëüíûõ âàðèàöèÿõ δqα ,
α = 1, ..., s :                             ¯
                              ∂H(q, p̄, t) ¯¯
                       p̄˙α +               ¯     = 0 , α = 1, ..., s .
                                ∂qα          q=q̄

Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèè q̄(t), p̄(t) äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ïåðâûì s óðàâíåíèÿì Ãà-
ìèëüòîíà (169).


                                                             65

Страницы