Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1. Казанцев Э.Ф. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ние h : X®Z, ко то рое на зы ва ет ся ком по зи ци ей, или су пер по зи ци ей, или
про из ве де ни ем ото бра же ний f и g, и обо зна ча ет ся
f go
.
Фун да мен таль ны ми по ня тия ми ма те ма ти ки яв ля ют ся так же по -
ня тия ас со циа тив но сти, ком му та тив но сти и ди ст ри бу тив но сти.
Ас со циа тив ность — это со че та тель ный за кон для опе ра ции, вы ра -
жае мый то ж де ст вом:
( ) ( )a b c a b c* * = * *
,
где
*
обо зна ча ет ка кую-ли бо опе ра цию.
Ком му та тив ность — это пе ре мес ти тель ный за кон для опе ра ции,
вы ра жае мый то ж де ст вом:
a b b a* = *
.
Ди ст ри бу тив ность — это рас пре де ли тель ный за кон для двух опе -
ра ций, вы ра жае мый то ж де ст вом:
a b c a b a c* · = * · *( )
,
где
*
и
·
— про из воль ные би нар ные опе ра ции.
Од ним из глав ных раз де лов ма те ма ти ки яв ля ет ся ал геб ра.
Мно же ст во М вме сте с за дан ной на нем со во куп но стью опе ра ций
{ }
j j
1
K
n
, то есть сис те ма
A M
n
= ( ; )j j
1
K
на зы ва ет ся ал геб рой. Мно же -
ст во М на зы ва ет ся но си те лем ал геб ры. Век тор ар но сти опе ра ций ал геб -
ры на зы ва ет ся ее ти пом. Со во куп ность опе ра ций на зы ва ет ся сиг на ту -
рой.
Пример 1: ал геб ра
( ; ; )R + ×
на зы ва ет ся по лем дей ст ви тель ных чи сел
R. Сиг на ту ра ал геб ры
( ; )+ ×
, обе опе ра ции сло же ние
( )+
и ум но же ние
()×
би нар ны, сле до ва тель но ее тип (2,2).
Пример 2: ал геб ра
{ }
( )
0 1, ; ,&,Ø Ú
на зы ва ет ся бу ле вой. Сиг на ту ра
ее
( , &, )Ø Ú
, опе ра ции конъ юнк ции
(&)
и дизъ юнк ции
( )Ú
би нар ны, опе -
ра ция от ри ца ния
( )Ø
унар на, сле до ва тель но ее тип (1,2, 2).
При мер 3: ал геб ра
( ; , , )U È Ç Ø
на зы ва ет ся ал геб рой мно жеств
(Кан то ра). U — уни вер саль ное мно же ст во. Сиг на ту ра ал геб ры
( , , )È Ç Ø
,
опе ра ции объ е ди не ния
( )È
и пе ре се че ния
( )Ç
би нар ны, от ри ца ние —
унар но, сле до ва тель но ее тип (2,2,1).
10
ние h : X®Z, которое называется композицией, или суперпозицией, или
произведением отображений f и g, и обозначается f o g.
      Фундаментальными понятиями математики являются также по-
нятия ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности.
      Ассоциативность — это сочетательный закон для операции, выра-
жаемый тождеством:

                            (a* b)*c = a*(b*c),

где * обозначает какую-либо операцию.
      Коммутативность — это переместительный закон для операции,
выражаемый тождеством:

                                a* b = b*a.

     Дистрибутивность — это распределительный закон для двух опе-
раций, выражаемый тождеством:

                           a*(b · c) = a* b · a*c,

где * и · — произвольные бинарные операции.
      Одним из главных разделов математики является алгебра.
      Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций
{j1 K jn }, то есть система A = (M ; j1 K jn ) называется алгеброй. Множе-
ство М называется носителем алгебры. Вектор арности операций алгеб-
ры называется ее типом. Совокупность операций называется сигнату-
рой.

     Пример 1: алгебра (R; +; ×) называется полем действительных чисел
R. Сигнатура алгебры (+; ×), обе операции сложение (+) и умножение ()×
бинарны, следовательно ее тип (2,2).

      Пример 2: алгебра ({0,1}; Ø, &, Ú ) называется булевой. Сигнатура
ее (Ø, &, Ú ), операции конъюнкции (&) и дизъюнкции (Ú ) бинарны, опе-
рация отрицания (Ø) унарна, следовательно ее тип (1,2, 2).

     Пример 3: алгебра (U ; È, Ç, Ø) называется алгеброй множеств
(Кантора). U — универсальное множество. Сигнатура алгебры (È, Ç, Ø),
операции объединения (È) и пересечения (Ç) бинарны, отрицание —
унарно, следовательно ее тип (2,2,1).
10

Страницы