Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1. Казанцев Э.Ф. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ве де но ото бра же ние G ал геб ры А в ал геб ру В, а за тем в ал геб ре В вы пол -
не на со от вет ст вую щая опе ра ция
y
i
.
Изо мор физ мом ал геб ры А на ал геб ру В на зы ва ет ся вза им но-од но -
знач ный го мо мор физм. В этом слу чае су ще ст ву ет об рат ное ото бра же -
ние
G
-1
:K M®
, так же вза им но-од но знач ное. Ес ли ал геб ры А и В изо -
морф ны, то эле мен ты и опе ра ции ал геб ры В мож но пе ре име но вать так,
что ал геб ра В сов па дет с ал геб рой А.
Ес ли
A B=
, то изо мор физм на зы ва ет ся ав то мор физ мом.
При мер 6: рас смот рим ал геб ры
( ; , )N + ×
и
( ; , )N
7
Å Ä
, где N — бес ко -
неч ное мно же ст во на ту раль ных чи сел.
Оп ре де лим ото бра же ние
G
7
:N N®
7
сле дую щим об ра зом:
G
7
( )n
рав но ос тат ку от де ле ния чис ла n на 7, то есть, ес ли
n a b= +7
(
b< 7
), то
G
7
( )n b=
.
Про ве рим ус ло вие го мо мор физ ма (1): пусть
n a b
1 1 1
7= +
;
n a b
2 2 2
7= +
.
Для сло же ния:
G G G G
7
1
2 7
1
2
1
2 7
1
7 2
( ) ( ) ( ) ( )n n b b b b n n+ = + = Å = Å
.
Для ум но же ния:
G G G G
7
1
2 7
1
2
1
2 7
1
7 2
( ) ( ) ( ) ( )n n b b b b n n× = × = Ä = Ä
, то
есть ус ло вие (1) вы пол не но, зна чит
G
7
— го мо мор физм. Не труд но по ка -
зать, что
G
7
не яв ля ет ся изо мор физ мом. По лу чен ный ре зуль тат ин те ре -
сен тем, что воз мо жен го мо мор физм бес ко неч ной ал геб ры в ко неч ную.
При мер 7: рас смот рим ал геб ры
( ; )R
+
×
и
( ; )R +
, где
R
+
— по ло жи тель -
ное под мно же ст во всех дей ст ви тель ных чи сел R.
Ото бра же ние
a a® log
яв ля ет ся изо мор физ мом для дан ных ал -
гебр. Ус ло вие (1) име ет вид:
log( ) log loga b a b× = +
.
С дру ги ми важ ны ми по ня тия ми со вре мен ной ма те ма ти ки мы по -
зна ко мим ся поз же в кон крет ных слу ча ях их при ме не ния.
К со жа ле нию, ог ром ное ко ли че ст во но вых пра вил в со вре мен ной
ма те ма ти ке от пу ги ва ет от нее мно же ст во лю дей, фор ми руя об щую не -
при язнь к ма те ма ти ке, что в гу ма ни тар ной сфе ре да же воз во дит ся в ранг
дос то ин ст ва. Это про ис хо дит ви ди мо по то му, что че ло век из на чаль но
вос при ни ма ет толь ко ту ин фор ма цию, ко то рая дос туп на его по ни ма -
нию. Имен но осо бое по ни ма ние при ро ды на уров не ин туи ции оп ре де -
ля ет при над леж ность че ло ве ка к фи зи ке, хо тя опыт по ка зы ва ет, что за -
час тую с тру дом дос тиг ну тое по ни ма ние ра но или позд но ока зы ва ет ся
лож ным. В ма те ма ти ке си туа ция не сколь ко дру гая, здесь все ос нов ные
12
ведено отображение G алгебры А в алгебру В, а затем в алгебре В выпол-
нена соответствующая операция y i .
      Изоморфизмом алгебры А на алгебру В называется взаимно-одно-
значный гомоморфизм. В этом случае существует обратное отображе-
ние G -1 :K ® M , также взаимно-однозначное. Если алгебры А и В изо-
морфны, то элементы и операции алгебры В можно переименовать так,
что алгебра В совпадет с алгеброй А.
      Если A = B, то изоморфизм называется автоморфизмом.

       Пример 6: рассмотрим алгебры (N ; +, ×) и (N 7 ; Å, Ä), где N — беско-
нечное множество натуральных чисел.
       Определим отображение G7 :N ® N 7 следующим образом: G7 (n)
равно остатку от деления числа n на 7, то есть, если n = 7a + b (b< 7), то
G7 (n) = b.
       Про ве рим ус ло вие го мо мор физ ма (1): пусть n1 = 7a1 + b1 ;
n 2 = 7a2 + b2 .
       Для сложения: G7 (n1 + n 2 ) = G7 (b1 + b2 ) = b1 Å b2 = G7 (n1 ) Å G7 (n 2 ).
       Для умножения: G7 (n1 × n 2 ) = G7 (b1 × b2 ) = b1 Ä b2 = G7 (n1 ) Ä G7 (n 2 ), то
есть условие (1) выполнено, значит G7 — гомоморфизм. Не трудно пока-
зать, что G7 не является изоморфизмом. Полученный результат интере-
сен тем, что возможен гомоморфизм бесконечной алгебры в конечную.

      Пример 7: рассмотрим алгебры (R+ ; ×) и (R; +), где R+ — положитель-
ное подмножество всех действительных чисел R.
      Отображение a ® log a является изоморфизмом для данных ал-
гебр. Условие (1) имеет вид:
                               log(a × b) = log a + log b.
      С другими важными понятиями современной математики мы по-
знакомимся позже в конкретных случаях их применения.
      К сожалению, огромное количество новых правил в современной
математике отпугивает от нее множество людей, формируя общую не-
приязнь к математике, что в гуманитарной сфере даже возводится в ранг
достоинства. Это происходит видимо потому, что человек изначально
воспринимает только ту информацию, которая доступна его понима-
нию. Именно особое понимание природы на уровне интуиции опреде-
ляет принадлежность человека к физике, хотя опыт показывает, что за-
частую с трудом достигнутое понимание рано или поздно оказывается
ложным. В математике ситуация несколько другая, здесь все основные
12

Страницы