Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1. Казанцев Э.Ф. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

по ня тие не пре рыв но го ото бра же ния пред по ла га ет толь ко, что точ ки и
мно же ст ва рас смат ри вае мой фи гу ры мо гут на хо дить ся в не ко то ром
ин туи тив но яс ном от но ше нии бли зо сти, от лич ном от от но ше ния
при над леж но сти. Та кие фи гу ры на зы ва ют ся то по ло ги че ски ми про -
стран ст ва ми.
Ал геб раи че ские сис те мы — это мно же ст во с оп ре де лен ны ми на
нем опе ра ция ми и от но ше ния ми. Ал геб раи че ская сис те ма на зы ва ет ся
ал геб рой (об щей, уни вер саль ной, аб ст ракт ной), ес ли мно же ст во от но -
ше ний пус то, и — мо де лью, ес ли пус то мно же ст во опе ра ций.
Ма те ма ти че ская ло ги ка — раз дел ма те ма ти ки по свя щен ный изу -
че нию до ка за тельств ос но ва ний ма те ма ти ки. На ос но ве ма те ма ти че -
ской ло ги ки бы ли по строе ны раз лич ные сис те мы ак сио ма ти че ской тео -
рии мно жеств. Наи бо лее из вест ная из них — сис те ма Цер ме ло-Френ ке -
ля. При клад ное зна че ние ма те ма ти че ской ло ги ки — кон ст рук ция ЭВМ.
В со вре мен ной ма те ма ти ке при ня ты сле дую щие обо зна че ния чи -
сел:
N — на ту раль ные чис ла (0; 1; 2; ...),
P — про стые чис ла (2; 3; 5; 7; 11; ...),
Z — це лые чис ла (... – 3; –2; –1; 0; 1; 2; 3;...),
Q — ра цио наль ные чис ла (... –3,1; –2,5; –1,1; 0; 1,2; 2,3; 3,5 ...),
R — дей ст ви тель ные чис ла (до бав ля ют ся чис ла ти па
2
3
),
GR — ги пер дей ст ви тель ные (транс фи нит ные) чис ла (до бав ля ют ся
бес ко неч но ма лые и бес ко неч но боль шие чис ла).
Наи бо лее час то мы бу дем стал ки вать ся с по ня тия ми опе ра ции,
от но ше ния и ото бра же ния.
По ня тие опе ра ции ин туи тив но яс но на при ме ре хо ро шо из вест -
ных опе ра ций сло же ния и ум но же ния. Это би нар ные опе ра ции. При ме -
ром унар ной опе ра ции яв ля ет ся от ри ца ние.
От но ше ния ус та нав ли ва ют связь ме ж ду мно же ст ва ми. При ме ра ми
от но ше ния мо гут слу жить сле дую щие: 1) при над леж ность эле мен та к
мно же ст ву « Î »; 2) при над леж ность под мно же ст ва к мно же ст ву « Ì »;
3) от но ше ния по ряд ка: мень ше « < »; боль ше « > »; рав но « = » и др.
Ото бра же ния — это за кон, по ко то ро му ка ж до му эле мен ту x не ко -
то ро го за дан но го мно же ст ва X со пос тав ля ет ся од но знач но оп ре де лен -
ный эле мент y дру го го за дан но го мно же ст ва Y, и пи шут f : X®Y. Ес ли
мно же ст ва со сто ят из чи сел, то вме сто тер ми на «ото бра же ние» при ме -
ня ют тер мин «функ ция» и пи шут
y f x= ( )
. Ес ли за да ны три мно же ст ва X,
Y, Z и есть два ото бра же ния f : X®Y и g : Y®Z, то су ще ст ву ет ото бра же -
9
понятие непрерывного отображения предполагает только, что точки и
множества рассматриваемой фигуры могут находиться в некотором
интуитивно ясном отношении близости, отличном от отношения
принадлежности. Такие фигуры называются топологическими про-
странствами.
      Алгебраические системы — это множество с определенными на
нем операциями и отношениями. Алгебраическая система называется
алгеброй (общей, универсальной, абстрактной), если множество отно-
шений пусто, и — моделью, если пусто множество операций.
      Математическая логика — раздел математики посвященный изу-
чению доказательств оснований математики. На основе математиче-
ской логики были построены различные системы аксиоматической тео-
рии множеств. Наиболее известная из них — система Цермело-Френке-
ля. Прикладное значение математической логики — конструкция ЭВМ.
      В современной математике приняты следующие обозначения чи-
сел:
      N — натуральные числа (0; 1; 2; ...),
      P — простые числа (2; 3; 5; 7; 11; ...),
      Z — целые числа (... – 3; –2; –1; 0; 1; 2; 3;...),
      Q — рациональные числа (... –3,1; –2,5; –1,1; 0; 1,2; 2,3; 3,5 ...),
      R — действительные числа (добавляются числа типа 3 2 ),
      GR — гипердействительные (трансфинитные) числа (добавляются
бесконечно малые и бесконечно большие числа).
      Наиболее часто мы будем сталкиваться с понятиями операции,
отношения и отображения.
      Понятие операции интуитивно ясно на примере хорошо извест-
ных операций сложения и умножения. Это бинарные операции. Приме-
ром унарной операции является отрицание.
      Отношения устанавливают связь между множествами. Примерами
отношения могут служить следующие: 1) принадлежность элемента к
множеству « Î »; 2) принадлежность подмножества к множеству « Ì »;
3) отношения порядка: меньше « < »; больше « > »; равно « = » и др.
      Отображения — это закон, по которому каждому элементу x неко-
торого заданного множества X сопоставляется однозначно определен-
ный элемент y другого заданного множества Y, и пишут f : X®Y. Если
множества состоят из чисел, то вместо термина «отображение» приме-
няют термин «функция» и пишут y = f ( x ). Если заданы три множества X,
Y, Z и есть два отображения f : X®Y и g : Y®Z, то существует отображе-
                                                                        9

Страницы