Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1. Казанцев Э.Ф. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ня тия не пре рыв ной функ ции, ко то рое по зво ли ло по стро ить диф фе рен ци -
аль ное ис чис ле ние, по лу чив ше го на зва ние ма те ма ти че ско го ана ли за,
хо тя точ нее на до бы ло бы все это на звать не пре рыв ной (бес ко неч ной) ма -
те ма ти кой. При чем но вые по ня тия в ма те ма ти че ском ана ли зе по лу ча -
ли свое оп рав да ние буд то бы в со от вет ст вии с ре аль ны ми со от но ше ния -
ми дей ст ви тель но го ми ра. Так, на при мер, ре аль ность по ня тия про из -
вод ной вы те ка ла из ре аль но сти по ня тия ско ро сти в ме ха ни ке, хотя это
далеко не очевидно.
Па ра док саль но, но до XIX ве ка ни кто не об ра тил вни ма ния на тот
факт, что ре аль ный мир со сто ит из дис крет ных объ ек тов и по ня тие не -
пре рыв ной функ ции не име ет ни ка ких ана ло гов в ре аль ном ми ре.
Бур ное раз ви тие ма те ма ти ки в XIX ве ке за ста ви ло об ра тить вни -
ма ние на не об хо ди мость ло ги че ско го обос но ва ния ма те ма ти ки, т.е. не -
об хо ди мо бы ло кри ти че ски пе ре смот реть ее ис ход ные по ло же ния (ак -
сио мы). Как мы уже от ме ча ли, кри те ри ем пра виль но сти ма те ма ти ки
мо жет быть толь ко ее не про ти во ре чи вость. Од на ко до сих пор идет
силь ное от ста ва ние ма те ма ти ки в стро гом ло ги че ском обос но ва нии
мно гих ма те ма ти че ских ме то дов, ши ро ко при ме няе мых в со вре мен ной
тео ре ти че ской фи зи ке, где мно го цен ных ре зуль та тов по лу ча ет ся при
по мо щи не за кон ных ма те ма ти че ских приемов.
Толь ко в кон це XIX ве ка сло жил ся стан дарт тре бо ва ний к ло ги че -
ской стро го сти раз ви тия ма те ма ти че ских тео рий. Этот стан дарт ос но ван
на тео ре ти ко-мно же ст вен ной кон цеп ции строе ния лю бой ма те ма ти че -
ской тео рии. С этой точ ки зре ния лю бая ма те ма ти че ская тео рия име ет
де ло с дис крет ным мно же ст вом объ ек тов, свя зан ных ме ж ду со бой не ко -
то ры ми ло ги че ски ми от но ше ния ми. Но вый стан дарт по зво лил не толь -
ко обос но вать мно гие ма те ма ти че ские тео рии, но и сис те ма ти зи ро вать
их. Од на ко во прос це ли в ма те ма ти ке по-преж не му ос та вал ся от кры -
тым, вы зы вая го лов ную боль у фи ло соф ски ду маю щих математиков.
Тем не ме нее в кон це XIX ве ка оп ре де лил ся круг ин те ре сов так на -
зы вае мой дис крет ной (ко неч ной) ма те ма ти ки, ос нов ные раз де лы ко то -
рой (тео рия мат риц, тео рия групп, тео рия мно жеств, ма те ма ти че ская
ло ги ка, тео рия ве ро ят но стей, тео рия ал го рит мов и так да лее) раз ра ба -
ты ва лись еще в XVII–XVIII вв. од но вре мен но с эле мен та ми не пре рыв -
ной ма те ма ти ки. Са мо де ле ние ма те ма ти ки на не пре рыв ную и дис крет -
ную дос та точ но ус лов но, так как в на стоя щее вре мя про ис хо дит ин тен -
сив ный об мен идей и ме то дов ме ж ду ни ми. Пра виль ней бы ло бы
го во рить о ста нов ле нии в XX ве ке но вой со вре мен ной ма те ма ти ки, су -
ще ст вен но от ли чаю щей ся от клас си че ской ма те ма ти ки XVII–XIX вв.,
7
нятия непрерывной функции, которое позволило построить дифференци-
альное исчисление, получившего название математического анализа,
хотя точнее надо было бы все это назвать непрерывной (бесконечной) ма-
тематикой. Причем новые понятия в математическом анализе получа-
ли свое оправдание будто бы в соответствии с реальными соотношения-
ми действительного мира. Так, например, реальность понятия произ-
водной вытекала из реальности понятия скорости в механике, хотя это
далеко не очевидно.
      Парадоксально, но до XIX века никто не обратил внимания на тот
факт, что реальный мир состоит из дискретных объектов и понятие не-
прерывной функции не имеет никаких аналогов в реальном мире.
      Бурное развитие математики в XIX веке заставило обратить вни-
мание на необходимость логического обоснования математики, т.е. не-
обходимо было критически пересмотреть ее исходные положения (ак-
сиомы). Как мы уже отмечали, критерием правильности математики
может быть только ее непротиворечивость. Однако до сих пор идет
сильное отставание математики в строгом логическом обосновании
многих математических методов, широко применяемых в современной
теоретической физике, где много ценных результатов получается при
помощи незаконных математических приемов.
      Только в конце XIX века сложился стандарт требований к логиче-
ской строгости развития математических теорий. Этот стандарт основан
на теоретико-множественной концепции строения любой математиче-
ской теории. С этой точки зрения любая математическая теория имеет
дело с дискретным множеством объектов, связанных между собой неко-
торыми логическими отношениями. Новый стандарт позволил не толь-
ко обосновать многие математические теории, но и систематизировать
их. Однако вопрос цели в математике по-прежнему оставался откры-
тым, вызывая головную боль у философски думающих математиков.
      Тем не менее в конце XIX века определился круг интересов так на-
зываемой дискретной (конечной) математики, основные разделы кото-
рой (теория матриц, теория групп, теория множеств, математическая
логика, теория вероятностей, теория алгоритмов и так далее) разраба-
тывались еще в XVII–XVIII вв. одновременно с элементами непрерыв-
ной математики. Само деление математики на непрерывную и дискрет-
ную достаточно условно, так как в настоящее время происходит интен-
сивный обмен идей и методов между ними. Правильней было бы
говорить о становлении в XX веке новой современной математики, су-
щественно отличающейся от классической математики XVII–XIX вв.,
                                                                    7

Страницы